Калорийность: Не указана Время приготовления: Не указано Для домашней...
Рациональным называется число, которое можно представить в виде дроби , где . Q– множество всех рациональных чисел.
Рациональные числа подразделяются на: положительные, отрицательные и нуль.
Каждому рациональному числу можно поставить в соответствие единственную точку координатной прямой. Отношению «левее» для точек соответствует отношение «меньше» для координат этих точек. Можно заметить, что всяко отрицательное число меньше нуля и всякого положительного числа; из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Так, -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.
Всякое рационально число можно представить десятичной периодической дробью. Например, .
Алгоритмы действий над рациональными числами вытекают из правил знаков соответствующих действий над нулем и положительными дробями. В Qвыполняется деление, кроме деления на нуль.
Любое линейное уравнение, т.е. уравнение вида ax+b=0, где , разрешимо на множестве Q, но не любое квадратное уравнение вида , разрешимо в рациональных числах. Не каждая точка координатной прямой имеет рациональную точку. Еще в конце VIв до. н. э в школе Пифагора было доказано, что диагональ квадрата не соизмерима с его высотой, что равносильно утверждению: «Уравнение не имеет рациональных корней». Всё перечисленное привело к необходимости расширения множества Q, было введено понятие иррационального числа. Обозначим множество иррациональных чисел буквой J .
На координатной прямой иррациональные координаты имею все точки, которые не имеют рациональных координат. , где r– множеств действительных чисел. Универсальным способом задания действительных чисел являются десятичные дроби. Периодические десятичные дроби задают рациональные числа, а непериодические – иррациональные числа. Так, 2,03(52) – рациональное число, 2,03003000300003… (период каждой следующие цифрой «3» записывается на один нуль больше) – иррациональное число.
Множества Qи Rобладают свойствами положительности: между любыми двумя рациональными числами существует рациональное число, например, есои a
Для всякого иррационального числа α
можно указать рациональное приближение как с недостатком так и с избытком с любой точностью: a< α
Операция извлечения корня из некоторых рациональных чисел приводит к иррациональным числам. Извлечение корня натуральной степени – алгебраическая операция, т.е. ее введение связано с решение алгебраического уравнения вида . Если nнечетное, т.е. n=2k+1, где , то уравнение имеет единственный корень. Если nчетное, n=2k, где , то при a=0 уравнение имеет единственный корень х=0, при a<0 корней нет, при a>0 имеет два корня, которые противоположны друг другу. Извлечение корня – операция обратная операции возведение в натуральную степень. Арифметическим корнем (для краткости корнем) n-й степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число bкоторое является корнем уравнения . Корень n-ой степени из числа а обозначается символом . При n=2 степень корня 2 не указывается: . Например, , т.к. 2 2 =4 и 2>0; , т.к. 3 3 =27 и 3>0; не существует т.к. -4<0. При n=2kи a>0 корни уравнении (1) записываются так и . Например, корни уравнения х 2 =4 равны 2 и -2. При nнечетном уравнение (1) имеет единственный корень для любого . Если a≥0, то - корень этого уравнения. Если a<0, то –а>0 и - корень уравнения. Так, уравнение х 3 =27 имеет корень . Натуральные числа определение - это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа: Это натуральный ряд чисел. Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b: Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b: с - это всегда натуральное число. Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе - нет. Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b где с - натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a - делимое, b - делитель, c - частное. Делитель натурального числа - это натуральное число, на которое первое число делится нацело. Каждое натуральное число делится на единицу и на себя. Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь имеется ввиду делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа. Единицу не считают простым числом. Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел: Единицу не считают составным числом. Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа. Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N. Свойства сложения и умножения натуральных чисел: переместительное свойство сложения сочетательное свойство сложения (a + b) + c = a + (b + c); переместительное свойство умножения сочетательное свойство умножения (ab) c = a (bc); распределительное свойство умножения A (b + c) = ab + ac; Целые числа - это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным. Числа, противоположные натуральным - это целые отрицательные числа, например: 1; -2; -3; -4;... Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z. Рациональные числа - это целые числа и дроби. Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры: 1,(0); 3,(6); 0,(0);... Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль. Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби
число 3,(6) из предыдущего примера. С отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа . Иррациональными являются: Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде несократимой дроби , где и - целые числа . Возведём предполагаемое равенство в квадрат: Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пускай , где целое. Тогда Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и - иррациональное число. Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде дроби , где и - целые числа . Поскольку , и могут быть выбраны положительными. Тогда Но чётно, а нечётно. Получаем противоречие. Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. - ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены. Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу , который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок. Однако Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины, поскольку предположение о её существовании приводит к противоречию. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство выглядело следующим образом: Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос
(невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы. С отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа . Иррациональными являются: Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде несократимой дроби , где и - целые числа . Возведём предполагаемое равенство в квадрат: Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пускай , где целое. Тогда Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и - иррациональное число. Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде дроби , где и - целые числа . Поскольку , и могут быть выбраны положительными. Тогда Но чётно, а нечётно. Получаем противоречие. Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. - ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены. Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу , который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок. Однако Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины, поскольку предположение о её существовании приводит к противоречию. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство выглядело следующим образом: Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос
(невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы. Иррациона́льное число́
- это вещественное число
, которое не является рациональным , то есть не может быть представлено в виде дроби , где - целые числа , . Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби .
Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой в полужирном начертании без заливки. Таким образом: , т.е. множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.
О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков , несоизмеримых
с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была
известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что
равносильно иррациональности числа .
Иррациональными являются: Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде несократимой дроби , где - целое число , а - натуральное число . Возведём предполагаемое равенство в квадрат: Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пускай , где целое. Тогда Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и - иррациональное число. Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде дроби , где и - целые числа . Поскольку , и могут быть выбраны положительными. Тогда Но чётно, а нечётно. Получаем противоречие. Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята
индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750
г. до н. э. - ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни
некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно
выражены. Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу ,
который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Во
времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины,
достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой
отрезок. Однако Гиппас обосновал, что не существует единой единицы
длины, поскольку предположение о её существовании приводит к
противоречию. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного
прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то
это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство
выглядело следующим образом: Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос
(невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного
уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в
морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за
создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности
во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям».
Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную
проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что
числа и геометрические объекты едины и неразделимы.Натуральные числа
Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом.
Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел.
Каково наименьшее натуральное число? Единица - это наименьшее натуральное число.
Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.Целые числа
Рациональные числа
Примеры доказательства иррациональности
Корень из 2
Двоичный логарифм числа 3
e
История
См. также
Примечания
Числовые системы
Счётные
множества
Натуральные числа () Целые () Примеры доказательства иррациональности
Корень из 2
Двоичный логарифм числа 3
e
История
См. также
Примечания
Числовые системы
Счётные
множества
Натуральные числа () Целые () Свойства
Примеры
Иррациональные числа
- ζ(3) - √2
- √3
- √5
- - - - -
Примеры доказательства иррациональности
Корень из 2
Двоичный логарифм числа 3
e
История