Движения, обладающие той или иной степенью повторяемости, называются колебаниями. Если колебания повторяются через равные промежутки времени, то они называются периодическими. В зависимости от физической природы колебательного процесса и «механизма» его возбуждения различают механические и электромагнитные колебания. Гармонические – это такие колебания, которые описываются периодическим законом или (1)

где – периодически изменяющаяся величина (смещение, скорость, сила и т.д.). Система, закон движения которой имеет вид (1), называется одномерным (линейным) классическим гармоническим осциллятором или сокращенно гармоническим осциллятором .

Амплитуда А, определяющая размах колебаний, равна абсолютному значению наибольшего отклонения от значения в состоянии равновесия. Аргумент синуса или косинуса называется фазой колебания, – начальная фаза. –частота колебаний, численно равная числу колебаний, совершаемых за единицу времени. Частота, при которой за 1с совершается одно полное колебание, называется герцем (Гц).Т – период – время, за которое совершается одно полное колебание.

Система, совершающая колебания, называется маятником .

Пружинный маятник имеет период , где m – масса тела, закрепленного на пружине жесткостью k . .Математический маятник – это модель, в которой вся масса сосредоточена в материальной точке, колеблющейся на невесомой и недеформируемой нити длиной . Период колебаний: . Физический маятник – образует твердое тело, подвешенное в поле тяжести на закрепленной горизонтальной оси. Период колебаний физического маятника: , где J – момент инерции маятника относительно оси, m – масса тела, – расстояние от оси до центра тяжести тела.

Свободными (собственными) называются колебания, которые происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему. Они возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния ее устойчивого равновесия.

Рассмотрим смещение x колеблющегося тела относительно положения равновесия, то есть . Начало отсчета времени выберем так, чтобы =0. Уравнение гармонического колебания: , причем А и w – величины постоянные.

Первая производная от по времени дает выражение для скорости движения тела: ; (2)

Уравнения (2) показывают, что скорость, как и смещение, изменяются по гармоническому закону с той же частотой w, но ее фаза отличается от фазы смещения на p/2, то есть когда =0, то .

Ускорение изменяется со временем также по гармоническому закону:

, (3)

где – максимальное значение ускорения. Фаза ускорения отличается от фазы смещения на p, а от скорости на p/2. Из (3) следует. что значение ускорения в процессе колебательного движения равно:

Таким образом, при гармоническом колебательном движении ускорение тела прямо пропорционально смещению от положения равновесия и имеет противоположный ему знак. Уравнение (4) можно переписать в виде: (5)

Это и есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Если изменяется со временем согласно формуле (1), то оно удовлетворяет дифференциальному уравнению (5). Верно и обратное утверждение.

Реально свободные колебания под действием сил сопротивления всегда затухают . Пусть точка совершает линейное гармоническое колебание в вязкой среде. При малых скоростях: , где r – постоянная величина, называемая коэффициентом сопротивления среды. Уравнение колебаний: . Введем обозначения: , тогда дифференциальное уравнение затухающего колебания: (6)

где – коэффициент затухания, w 0 – собственная частота колебания. При отсутствии трения =0, уравнение примет вид уравнения для свободных незатухающих колебаний. В результате решения уравнения (6) получим зависимость смещения х от времени, то есть уравнение затухающего колебательного движения:

Выражение называется амплитудой затухающего колебания. Амплитуда уменьшается с течением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент затухания. Огибающая на графике зависит от . Чем она больше, тем круче огибающая, то есть колебания быстрее затухают.

Путем подстановки функции (2) и ее производных по времени в уравнение (1), можно найти значение угловой частоты: . Период затухающих колебаний равен: .

Наглядной характеристикой затухания является отношение значений двух амплитуд, соответствующих промежутку времени в один период. Это отношение называют декрементом затухания : Его логарифм есть безразмерная величина, называемая логарифмическим декрементом затухания:

Колебания системы, которые совершаются за счет работы периодически меняющейся внешней силы, называются вынужденными.

Пусть на систему действует внешняя сила, меняющаяся со временем по гармоническому закону: , где F 0 – амплитуда силы (максимальное значение), w – угловая частота колебаний вынуждающей силы. Тогда уравнение движения будет иметь вид.

Затухающие колебания.

До сих пор мы рассматривали колебательное
движение тела так, как если бы оно происходило
совершенно беспрепятственно. Однако, если
движение происходит в какой либо среде, то эта
среда оказывает сопротивление движению,
стремящееся замедлить его. Взаимодействие тела
со средой представляет собой сложный процесс,
приводящий, в конце концов, к переходу энергии
движущегося тела в тепло,- как говорят в
физике, к рассеянию или диссипации энергии.
Этот процесс не является уже чисто
механическим и его детальное изучение требует
привлечения также и других разделов физики. С
чисто механической точки зрения он может быть
описан путем введения дополнительной (кроме
возвращающей) силы, появляющейся в результате
движения и направленной противоположно ему.
Эту силу называют силой трения. При достаточно
малых скоростях движения она пропорциональна
скорости тела, и ее проекция на ось х

где г - некоторая положительная постоянная,
характеризующая взаимодействие тела со средой,
а знак минус указывает, что сила направлена в
сторону, обратную скорости.

Выясним сначала, как влияет наличие такого
трения на колебательное движение. Будем считать
при этом, что сила трения настолько мала, что
вызываемая ею потеря энергии тела (за время
одного периода колебаний) относительно мала.

Запишем теперь второй закон Ньютона для

Деля это уравнение на m и перенося все члены
уравнения в левую часть, получим

2. Вынужденные колебания.

Во всякой реальной колебательной системе
всегда происходят те или иные процессы трения.
Поэтому свободные колебания, возникающие в
системе под влиянием начального толчка, с
течением времени затухают.

Для того, чтобы возбудить в системе
незатухающие колебания, необходимо

компенсировать потери энергии, обусловленные
трением. Такая компенсация может производиться
внешними (по отношению к колебательной
системе) источниками энергии. Простейшим
случаем является воздействие на систему
переменной внешней силы f BH , изменяющейся со
временем по гармоническому закону

в системе возникнут колебания, происходящие в
такт с изменением силы. Эти колебания
называются вынужденными. Движение системы
будет представлять собой, вообще говоря,
наложение обоих колебаний - собственных

система будет совершать лишь вынужденные
колебания.

Найдем уравнение вынужденных колебаний.
Для этого в уравнение (6.9) (второй закон
Ньютона) добавим вынуждающую силу (6.14):

Частота незатухающих колебаний. Полученное
уравнение называется уравнением затухающих
колебаний. Оно переходит в уравнение

Деля (6.15) на m и вводя прежние обозначения,
получим

Это и есть уравнение вынужденных
колебаний. Поскольку вынужденные колебания
происходят с частотой Q, будем искать решение
уравнения (6.16) в виде

Для их нахождения воспользуемся методом,
который называется методом векторных
диаграмм, удобным при сложении нескольких

то есть частота и период затухающих колебаний

В том случае, когда Р > со 0 (то есть движение
при достаточно большом трении), затухание
движения будет происходить монотонно без
колебаний. Такой процесс называется
апериодическим .

(на некотором вспомогательном чертеже -
векторной диаграмме) как проекцию на
горизонтальную ось ОХ радиуса - вектора,

Рассмотрим колебания маятника при наличии сил трения. Кроме возвращающей силы здесь появляется сила трения, которую будем считать пропорциональной скорости:

где r - коэффициент трения.

В этом случае уравнение колебаний принимает вид

Введем обозначения:

где - коэффициент затухания.

Тогда уравнение колебаний приводится к виду

Решение этого уравнения

где - частота колебаний при наличии затухания. Выражение

называют амплитудой затухающих колебаний. Зависимость x(t) имеет вид

Временем релаксации называется величина ф=1/д. Амплитуду затухающих колебаний запишем в виде

При t = ф амплитуда уменьшается в е раз.

Для характеристики затухающих колебаний вводят различные величины. Рассмотрим некоторые из них.

Логарифмическим декрементом затуханий называется величина, равная логарифму отношения амплитуд колебаний, отличающихся на период.

Период затухающих колебаний.

Часто используется также величина

называемая добротностью.

Для амплитуды колебаний можно записать

Учитывая формулу

можно записать

где - число колебаний, совершаемое маятником за время, когда амплитуда колебаний уменьшается в раз.

Вынужденные колебания

Рассмотрим случай, когда на маятник действует внешняя сила

Уравнение колебаний в этом случае имеет вид

Решение уравнения вынужденных колебаний запишем в виде

общее решение однородного уравнения,

частное решение неоднородного уравнения. Здесь

угол сдвига фаз,

амплитуда, которая зависит от частоты приложенного напряжения.

Функция описывает собственные колебания маятника. Эти колебания не зависят от внешней силы, имеют затухающий характер и спустя время почти исчезают.

Функция описывает вынужденные колебания, создаваемые внешними силами. Это незатухающие колебания с частотой внешнего возбуждения.

Нетрудно показать, что максимальное значение амплитуды достигается при частоте

которая называется резонансной, а само явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при определенной частоте называется резонансом. Резонансная кривая имеет вид, показанный на рисунке.

При резонансной частоте амплитуда колебаний возрастает во много раз. Явление резонанса следует учитывать при строительстве зданий, сооружений, машин. Собственная частота колебаний этих объектов должна быть далека от частоты вынужденных колебаний, которым могут подвергаться эти объекты. В противном случае возникают вибрации большой амплитуды, которые могут вызвать катастрофу. Такие случаи неоднократно отмечались.

Вместе с тем явления резонанса могут быть очень полезными, когда требуется многократное усиление необходимых колебаний. Это явление широко используется в радиотехнике, акустике, при создании сверхточных приборов.

Важную роль в технике играют автоколебания. Автоколебаниями называют незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний определяются самой системой.

Примеры автоколебаний: часы, ламповые генераторы, двигатели внутреннего сгорания и пр. Строгая теория автоколебательных систем очень сложна, т.к. такие системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, и в большинстве случаев получить строгое аналитическое решение таких уравнений не удается.

Физика ответы (Семенов) .docx

10.Колебательное движение. Свободные, вынужденные и затухающие колебания.

1) Колебания называются свободными (или собственными ), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воз­действий на колебательную систему (систему, совершающую колебания).Дифференциальное уравнение2) Свободныезатухающие колебания – колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах, а также омичес­ких потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.Дифференциальное уравнение 3) Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственновынужденными механическими ивынужденными электромагнитными колебаниями Дифференциальное уравнение

11. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить.

Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

Уравнение результирующего колебания будет

В выражении амплитудаА и начальная фаза соответственно задаются соотношениямТаким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направле­нии и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз ( 2 -  1) складываемых колебаний.

12. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу

Результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой час­тоты , происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осейх и у. Для простоты начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишемгде - разность фаз обоих колебаний,А иВ - амплитуды складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из выражений параметраt . Записывая складываемые колебания в виде

и заменяя во втором уравненииcos t нах/А иsin t на, получим после несложных преобразованийуравнение эллипса, оси которого ориентированы относите­льно координатных осейпроизвольно: Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называютсяэллиптически поляризованными.

12. Фигуры Лиссажу

Замкнутые тра­ектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу .* Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.

13. Законы идеальных газов. Уравнение Клапейрона-Менделеева.

Закон Бойля-Мариотта *: для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления газа на его объем есть величина постоянная:pV=constприT=const,m=const

Законы Гей-Люссака *:1) объем данной массы газа при постоянном давлении изменяется линейно с температурой:V=Vo(1+t) ПриV=const

2) давление данной массы газа при постоянном объеме изменяется линейно с тем­пературой:p=po(1+t) приV=const,m=const

Закон Дальтона *: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давленийp 1 , p 2 ,..., р n входящих в нее газов:

Cостояние некоторой массы газа определяется тремя термодина­мическими параметрами: давлениемр, объемомV и температуройТ. Между этими параметрами существует определенная связь, называемая уравнением состояния, кото­рое в общем виде дается выражением

Выражение является уравнением Клапейрона, в котором В - газовая постоянная,различная для разных газов.

Уравнениюудовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа, называемым также уравнением Клапейрона - Менделеева.

Уравнение Клапейрона - Менделеева для массы т газа

где  = m / M - количество вещества, гдеN A / V m = n - концентрация молекул (число молекул в единице объема). Таким образом, из уравнения