Обморок - состояние, при котором человек на время теряет сознание. Возникнуть...
![Обморок: причины, симптомы и порядок оказание первой помощи](https://i0.wp.com/irinazaytseva.ru/Pic/20160224.jpg)
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
С некоторых пор в TheBat (непонятно по какой причине) перестает корректно работать встроенная база сертификатов для SSL.
При проверке посты выскакивает ошибка:
Неизвестный сертификат СА
Сервер не представил корневой сертификат в сессии и соответствующий корневой сертификат не найден в адресной книге.
Это соедининение не может быть секретным. Пожалуйста
свяжитесь с администратором вашего сервера.
И предлагается на выбор ответы - ДА / НЕТ. И так каждый раз когда снимаешь почту.
Решение
В этом случае случае нужно заменить стандарт реализации S/MIME и TLS на Microsoft CryptoAPI в настройках TheBat!
Так как мне надо было все файлы объединить в один, то я сначала преобразовал все doc файлы в единый pdf файл (с помощью программы Acrobat), а затем уже через онлайн-конвертер перевёл в fb2. Можно же конвертировать файлы и по отдельности. Форматы могут быть совершенно любые (исходные) и doc, и jpg, и даже zip архив!
Название сайта соответствующее сути:) Онлайн Фотошоп.
Апдейт май 2015
Я нашел еще один замечательный сайт! Еще удобнее и функциональнее для создания абсолютно произвольного коллажа! Это сайт http://www.fotor.com/ru/collage/ . Пользуйтесь на здоровье. И сам буду пользоваться.
Столкнулся в жизни с ремонтом электроплиты. Уже много что делал, много чему научился, но как-то с плитками дела имел мало. Нужна была замена контактов на регуляторах и конфорок. Возник вопрос - как определить диаметр конфорки у электроплиты?
Ответ оказался прост. Не надо ничего мерить, можно спокойной на глаз определить какой вам нужен размер.
Самая маленькая конфорка - это 145 миллиметров (14,5 сантиметров)
Средняя конфорка - это 180 миллиметров (18 сантиметров).
И, наконец, самая большая конфорка - это 225 миллиметров (22,5 сантиметров).
Достаточно на глаз определить размер и понять какого диаметра вам нужна конфорка. Я когда этого не знал - парился с этими размерами, не знал как измерять, по какому краю ориентироваться и т.д. Теперь я мудр:) Надеюсь и вам помог!
В жизни столкнулся с такой задачей. Думаю, что не я один такой.
В данной статье рассмотрим схему исследования функции, а также приведем примеры исследования на экстремумы, монотонность, асимптоты данной функции.
Теорема. Ежели функция g непрерывна на , дифференцированная на (а; b) и g’(x) ≥ 0 (g’(x)≤0) , xє(а; b) , то g возрастающая (убывающая) на .
Пример:
y = 1: 3x 3 - 6: 2x 2 + 5x.
ОДЗ: хєR
y’ = x 2 + 6x + 5.
Найдем промежутки постоянных знаков y’ . Поскольку y’ - элементарная функция, то она может менять знаки только в точках, где она превращается в ноль или не существует. Ее ОДЗ: хєR .
Найдем точки, производная в которых равняется 0 (нулю):
y’ = 0;
x = -1; -5.
Итак, y растущая на (-∞; -5] и на [-1; +∞), y нисходящая на .
Т. x 0 именуют точкой максимума (max) на множестве А функции g тогда, когда принимается в этой точке функцией значение наибольшее g(x 0) ≥ g(x), xєА .
Т. x 0 именуют точкой минимума (min) функции g на множестве А тогда, когда принимается в этой точке функцией значение наименьшее g(x 0) ≤ g(x), xєА.
На множестве А точки максимума (max) и минимума (min) именуются точками экстремума g . Такие экстремумы еще называют абсолютными экстремумами на множестве .
Если x 0 - экстремума точка функции g в некотором своем округе, то x 0 именуется точкой локального или местного экстремума (max или min) функции g.
Теорема (условие необходимое). Если x 0 - точка экстремума (локального) функции g , то производная не существует или равна в этой т. 0 (нулю).
Определение. Критическими именуют точки с несуществующей или равной 0 (нулю) производной. Именно данные точки подозрительны на экстремум.
Теорема (условие достаточное № 1). Если функция g непрерывна в некотором округе т. x 0 и знак меняет чрез эту точку при переходе производная, то данная точка есть т. экстремума g .
Теорема (условие достаточное № 2). Пускай функция в некотором округе точки дифференцируема дважды и g’ = 0, а g’’ > 0 (g’’ < 0) , тогда эта точка есть точкой максимума (max) или минимума (min) функции.
Функцию называют выпуклой вниз (или вогнутой) на интервале (а, b) тогда, когда график функции располагается не выше секущей на промежутке для любых x с (а, b) , которая проходит чрез эти точки.
Функция будет выпуклой строго вниз на (а, b) , если - график лежит ниже секущей на промежутке.
Функцию называют выпуклой вверх (выпуклой) на промежутке (а, b) , если для любых точек с (а, b) график функции на промежутке лежит не ниже секущей, проходящей через абсциссы в этих точках .
Функция будет строго выпуклой вверх на (а, b ), если - график на промежутке лежит выше секущей.
Если функция в некотором округе точки непрерывна и через т. x 0 при переходе функция изменяет выпуклость то эта точка именуется точкой перегиба функции.
Определение. Прямую называют асимптотой g(x) , если при бесконечном удалении от начала координат к ней приближается точка графика функции: d(M,l).
Асимптоты могут быть вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Вертикальная прямая с уравнением x = x 0 будет асимптотой вертикальной графика функции g , если в т. x 0 бесконечный разрыв, то есть хотя бы одна левая или правая граница в этой точке - бесконечность.
Если функция непрерывна на , то по теореме Вейерштрасса существует значение наибольшее и значение наименьшее на этом отрезке, то есть существуют точки, которые принадлежат такие, что g(x 1) ≤ g(x) < g(x 2), x 2 є . Из теорем про монотонность и экстремумы получаем следующую схему исследования функции на отрезке на наименьшее и наибольшее значение.
План
Замечание. Если нужно произвести исследование функции на конечном интервале (а, b) , или на бесконечном (-∞; b); (-∞; +∞) на max и min значение, то в плане вместо значений функции на концах промежутка ищут соответствующие односторонние границы: вместо f(a) ищут f(a+) = limf(x) , вместо f(b) ищут f(-b) . Так можно найти ОДЗ функции на промежутке, потому что абсолютные экстремумы не обязательно существуют в данном случае.
Задача. Нужно построить площадку прямоугольной формы, использовав а метров сетки, у стены так, чтобы с одной стороны она прилегала к стене, а с остальных трех была ограждена сеткой. При каком соотношении сторон площадь такой площадки будет наибольшей?
S = xy - функция 2 переменных.
S = x(a - 2x) - функция 1-й переменной; x є .
S = ax - 2x 2 ; S" = a - 4x = 0, xєR, x = a: 4.
S(a: 4) = a 2: 8 - наибольшее значение;
S(0) =0.
Найдем другую сторону прямоугольника: у = a: 2.
Соотношение сторон: y: x = 2.
Ответ. Наибольшая площадь будет равна a 2 /8 , если сторона, которая параллельна стене, в 2 раза больше другой стороны.
Пример 1
Имеется y=x 3: (1-x) 2 . Произвести исследование.
Разрыв: х = 1;
limx 3: (1- x) 2 = ∞ - Разрыв 2-го рода (бесконечный), поэтому есть вертикальная асимптота в точке 1;
х = 1 - уравнение асимптоты вертикальной.
5. y’ = x 2 (3 - x) : (1 - x) 3 ;
ОДЗ (y’): x ≠ 1;
х = 1 - точка критическая.
y’ = 0;
0; 3 - точки критические.
6. y’’ = 6x: (1 - x) 4 ;
Критические т.: 1, 0;
x = 0 - т. перегиба, y(0) = 0.
7. limx 3: (1 - 2x + x 2) = ∞ - нет горизонтальной асимптоты, но может быть наклонная.
k = 1 - число;
b = 2 - число.
Следовательно, есть асимптота наклонная y = x + 2 на + ∞ и на - ∞.
Пример 2
Дано y = (x 2 + 1) : (x - 1). Произвести и сследование. Построить график.
1. Область существования - вся числовая прямая, кроме т. x = 1 .
2. y пересекает OY (если это возможно) в т. (0;g(0)) . Находим y(0) = -1 - т. пересечения OY .
Точки пересечения графика с OX находим, решив уравнение y = 0 . Уравнение корней действительных не имеет, поэтому эта функция не пересекает OX .
3. Функция непериодическая. Рассмотрим выражение
g(-x) ≠ g(x), и g(-x) ≠ -g(x) . Это означает, что это общего вида функция (ни четная, ни нечетная).
4. Т. x = 1 разрыв имеет второго рода. Во всех остальных точках функция непрерывна.
5. Исследование функции на экстремум:
(x 2 - 2x - 1) : (x - 1) 2 = y"
и решим уравнение y" = 0.
Итак, 1 - √2, 1 + √2, 1 - точки критические или точки возможного экстремума. Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала.
На каждом интервале производная имеет определенный знак, который можно установить методом интервалов или вычисления значений производной в отдельных точках. На интервалах (-∞; 1 - √2 ) U (1 + √2 ; ∞) , положительная производная, значит, функция растет; если xє (1 - √2 ; 1) U (1; 1 + √2 ) , то функция убывает, потому что на этих интервалах производная отрицательная. Через т. x 1 при переходе (движение следует слева направо) изменяет производная знак с "+" на "-", поэтому, в этой точке есть локальный максимум, найдем
y max = 2 - 2√2 .
При переходе через x 2 изменяет производная знак с "-" на "+", поэтому, в этой точке есть локальный минимум, причем
y mix = 2 + 2√2.
Т. x = 1 не т. экстремума.
6. 4: (x - 1) 3 = y"".
На (-∞; 1 ) 0 > y"" , следственно, на этом интервале кривая выпуклая; если xє(1 ; ∞) - кривая вогнута. В точке 1 не определена функция, поэтому эта точка не точка перегиба.
7. Из результатов пункта 4 следует, что x = 1 - асимптота вертикальная кривой.
Горизонтальные асимптоты отсутствуют.
x + 1 = y - асимптота наклонная данной кривой. Других асимптот нет.
8. Учитывая проведенные исследования, строим график (см. рисунок выше).
Для полного исследования функции и построения её графика рекомендуется использовать следующую схему:
1) найти область определения функции;
2) найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют);
3) исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты;
4) исследовать функцию на чётность (нечётность) и на периодичность (для тригонометрических функций);
5) найти экстремумы и интервалы монотонности функции;
6) определить интервалы выпуклости и точки перегиба;
7) найти точки пересечения с осями координат, если возможно и некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
Исследование функции проводится одновременно с построением её графика.
Пример 9 Исследовать функцию и построить график.
1. Область определения: ;
2. Функция терпит
разрывв точках,
;
Исследуем функцию на наличие вертикальных асимптот.
;
,
─
вертикальная асимптота.
;
,
─
вертикальная асимптота.
3. Исследуем функцию на наличие наклонных и горизонтальных асимптот.
Прямая
─
наклонная асимптота, если
,
.
,
.
Прямая
─ горизонтальная асимптота.
4. Функция
является четной т.к.
.
Чётность функции указывает на
симметричность графика относительно
оси ординат.
5. Найдём интервалы монотонности и экстремумы функции.
Найдём критические
точки, т.е. точки в которых производная
равна 0 или не существует:
;
.
Имеем три точки
;
.
Эти точки разбивают всю действительную
ось на четыре промежутка. Определим
знаки
на каждом из них.
На
интервалах (-∞; -1) и (-1; 0) функция
возрастает, на интервалах (0; 1)
и
(1 ; +∞) ─ убывает. При переходе
через точку
производная меняет знак с плюса на
минус, следовательно, в этой
точке
функция имеет максимум
.
6. Найдём интервалы выпуклости, точки перегиба.
Найдём точки, в
которых
равна 0, или не существует.
не имеет действительных
корней.
,
,
Точки
и
разбивают действительную ось на три
интервала. Определим знак
на каждом промежутке.
Таким
образом, кривая на интервалах
и
выпуклая вниз, на интервале (-1;1) выпуклая
вверх; точек перегиба нет, т. к. функция
в точках
и
не определена.
7. Найдем точки пересечения с осями.
С осью
график
функции пересекается в точке (0; -1), а с
осью
график
не пересекается, т.к. числитель данной
функции не имеет действительных корней.
График заданной функции изображён на рисунке 1.
Рисунок 1 ─ График
функции
Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.
Определение.
Эластичностью функции
называется предел отношения относительного
приращения функции
к относительному приращению переменной
при
,
. (VII)
Эластичность
функции показывает приближённо, на
сколько процентов изменится функция
при изменении независимой переменной
на 1%.
Эластичность
функции применяется при анализе спроса
и потребления. Если эластичность спроса
(по абсолютной величине)
,
то спрос
считают
эластичным, если
─
нейтральным, если
─
неэластичным
относительно цены (или дохода).
Пример
10
Рассчитать эластичность функции
и найти
значение
показателя эластичности для
= 3.
Решение: по формуле (VII) эластичность функции:
Пусть х=3,
тогда
.Это
означает, что если независимая
переменная
возрастёт на 1%, то значение
зависимой переменной увеличится на
1,42 %.
Пример
11
Пусть функция спроса
относительно цены
имеет вид
,
где
─ постоянный коэффициент. Найти значение
показателя эластичности функции спроса
при цене х = 3 ден. ед.
Решение: рассчитаем эластичность функции спроса по формуле (VII)
Полагая
ден.ед., получим
.
Это означает, что при
цене
ден.ед. повышение цены на 1% вызовет
снижение спроса на 6%, т.е. спрос эластичен.
Если в задаче необходимо произвести полное исследование функции f (x) = x 2 4 x 2 - 1 с построением его графика, тогда рассмотрим этот принцип подробно.
Для решения задачи данного типа следует использовать свойства и графики основных элементарных функций. Алгоритм исследования включает в себя шаги:
Yandex.RTB R-A-339285-1
Так как исследования проводятся на области определения функции, необходимо начинать с этого шага.
Пример 1
Заданный пример предполагает нахождение нулей знаменателя для того, чтобы исключить их из ОДЗ.
4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; + ∞
В результате можно получить корни, логарифмы, и так далее. Тогда ОДЗ можно искать для корня четной степени типа g (x) 4 по неравенству g (x) ≥ 0 , для логарифма log a g (x) по неравенству g (x) > 0 .
На границах функции имеются вертикальные асимптоты, когда односторонние пределы в таких точках бесконечны.
Пример 2
Для примера рассмотрим приграничные точки, равные x = ± 1 2 .
Тогда необходимо проводить исследование функции для нахождения одностороннего предела. Тогда получаем, что: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) · 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (+ 0) · 2 = + ∞
Отсюда видно, что односторонние пределы являются бесконечными, значит прямые x = ± 1 2 - вертикальные асимптоты графика.
Когда выполняется условие y (- x) = y (x) , функция считается четной. Это говорит о том, что график располагается симметрично относительно О у. Когда выполняется условие y (- x) = - y (x) , функция считается нечетной. Значит, что симметрия идет относительно начала координат. При невыполнении хотя бы одного неравенства, получаем функцию общего вида.
Выполнение равенства y (- x) = y (x) говорит о том, что функция четная. При построении необходимо учесть, что будет симметричность относительно О у.
Для решениянеравенства применяются промежутки возрастания и убывания с условиями f " (x) ≥ 0 и f " (x) ≤ 0 соответственно.
Определение 1
Стационарные точки – это такие точки, которые обращают производную в ноль.
Критические точки - это внутренние точки из области определения, где производная функции равняется нулю или не существует.
При решении необходимо учитывать следующие замечания:
Включение критических точек в промежутки возрастания и убывания в том случае, если они удовлетворяют области определения функции.
Определение 2
Для определения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти :
Пример 3
Найти производную на области определения f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .
Решение
Для решения нужно:
Выставляем точки на числовой оси для определения производной на каждом промежутке. Для этого достаточно взять любую точку из промежутка и произвести вычисление. При положительном результате на графике изображаем + , что означает возрастание функции, а - означает ее убывание.
Например, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0 , значит, первый интервал слева имеет знак + . Рассмотрим на числовой прямой.
Ответ:
На схеме при помощи + и - изображается положительность и отрицательность функции, а стрелочки – убывание и возрастание.
Точки экстремума функции – точки, где функция определена и через которые производная меняет знак.
Пример 4
Если рассмотреть пример, где х = 0 , тогда значение функции в ней равняется f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0 . При перемене знака производной с + на - и прохождении через точку х = 0 , тогда точка с координатами (0 ; 0) считается точкой максимума. При перемене знака с - на + получаем точку минимума.
Выпуклость и вогнутость определяется при решении неравенств вида f "" (x) ≥ 0 и f "" (x) ≤ 0 . Реже используют название выпуклость вниз вместо вогнутости, а выпуклость вверх вместо выпуклости.
Определение 3
Для определения промежутков вогнутости и выпуклости необходимо:
Пример 5
Найти вторую производную из области определения.
Решение
f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3
Находим нули числителя и знаменателя, где на примере нашего примера имеем, что нули знаменателя x = ± 1 2
Теперь необходимо нанести точки на числовую ось и определить знак второй производной из каждого промежутка. Получим, что
Ответ:
Определение 4
Точка перегиба – это точка вида x 0 ; f (x 0) . Когда в ней имеется касательная к графику функции, то при ее прохождении через x 0 функция изменяет знак на противоположный.
Иначе говоря, это такая точка, через которую проходит вторая производная и меняет знак, а в самих точках равняется нулю или не существует. Все точки считаются областью определения функции.
В примере было видно, что точки перегиба отсутствуют, так как вторая производная изменяет знак во время прохождения через точки x = ± 1 2 . Они, в свою очередь, в область определения не входят.
При определении функции на бесконечности нужно искать горизонтальные и наклонные асимптоты.
Определение 5
Наклонные асимптоты изображаются при помощи прямых, заданных уравнением y = k x + b , где k = lim x → ∞ f (x) x и b = lim x → ∞ f (x) - k x .
При k = 0 и b , не равному бесконечности, получаем, что наклонная асимптота становится горизонтальной .
Иначе говоря, асимптотами считают линии, к которым приближается график функции на бесконечности. Это способствует быстрому построению графика функции.
Если асимптоты отсутствуют, но функция определяется на обеих бесконечностях, необходимо посчитать предел функции на этих бесконечностях, чтобы понять, как себя будет вести график функции.
Пример 6
На примере рассмотрим, что
k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4
является горизонтальной асимптотой. После исследования функции можно приступать к ее построению.
Чтобы построение графика было наиболее точным, рекомендовано находить несколько значений функции в промежуточных точках.
Пример 7
Из рассмотренного нами примера необходимо найти значения функции в точках х = - 2 , х = - 1 , х = - 3 4 , х = - 1 4 . Так как функция четная, получим, что значения совпадут со значениями в этих точках, то есть получим х = 2 , х = 1 , х = 3 4 , х = 1 4 .
Запишем и решим:
F (- 2) = f (2) = 2 2 4 · 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0 , 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 · 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 · 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0 , 08
Для определения максимумов и минимумов функции, точек перегиба, промежуточных точек необходимо строить асимптоты. Для удобного обозначения фиксируются промежутки возрастания, убывания, выпуклость, вогнутость. Рассмотрим на рисунке, изображенном ниже.
Необходимо через отмеченные точки проводить линии графика, что позволит приблизить к асимптотам, следуя стрелочкам.
На этом заканчивается полное исследование функции. Встречаются случаи построения некоторых элементарных функций, для которых применяют геометрические преобразования.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter