В окно выглядывать – покой, мир, безопасная ситуация.В него вылезать или из...
Начиная рассуждать о средних величинах, чаще всего вспоминают, как заканчивали школу и поступали в учебное заведение. Тогда по аттестату рассчитывался средний балл: все оценки (и хорошие, и не очень) складывали, полученную сумму делили на их количество. Так вычисляется самый простой вид средней, которая называется средняя арифметическая простая. На практике в статистике применяются различные виды средних величин: арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, структурные средние. Тот или иной их вид используется в зависимости от характера данных и целей исследования.
Средняя величина является наиболее распространенным статистическим показателем, с помощью которого дается обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Она показывает уровень признака в расчете на единицу совокупности. С помощью средних величин проводится сравнение различных совокупностей по варьирующим признакам, изучаются закономерности развития явлений и процессов общественной жизни.
В статистике применяются два класса средних: степенные (аналитические) и структурные. Последние используются для характеристики структуры вариационного ряда и будут рассмотрены далее в гл. 8.
К группе степенных средних относят среднюю арифметическую, гармоническую, геометрическую, квадратическую. Индивидуальные формулы для их вычисления можно привести к виду, общему для всех степенных средних, а именно
где m - показатель степенной средней: при m = 1 получаем формулу для вычисления средней арифметической, при m = 0 - средней геометрической, m = -1 - средней гармонической, при m = 2 - средней квадратической;
x i - варианты (значения, которые принимает признак);
f i - частоты.
Главным условием, при котором можно использовать степенные средние в статистическом анализе, является однородность совокупности, которая не должна содержать исходных данных, резко различающихся по своему количественному значению (в литературе они носят название аномальных наблюдений).
Продемонстрируем важность этого условия на следующем примере.
Пример 6.1. Вычислим среднюю заработную плату сотрудников малого предприятия.
| № п/п | Заработная плата, руб. | № п/п | Заработная плата, руб. |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 950 | 11 | 7 000 |
| 2 | 6 790 | 12 | 5 950 |
| 3 | 6 790 | 13 | 6 790 |
| 4 | 5 950 | 14 | 5 950 |
| 5 | 7 000 | 5 | 6 790 |
| 6 | 6 790 | 16 | 7 000 |
| 7 | 5 950 | 17 | 6 790 |
| 8 | 7 000 | 18 | 7 000 |
| 9 | 6 790 | 19 | 7 000 |
| 10 | 6 790 | 20 | 5 950 |
Для расчета среднего размера заработной платы необходимо просуммировать заработную плату, начисленную всем работникам предприятия (т.е. найти фонд заработной платы), и разделить на число работающих:
А теперь добавим в нашу совокупность всего лишь одного человека (директора этого предприятия), но с окладом в 50 000 руб. В таком случае вычисляемая средняя будет совсем другая:
Как видим, она превышает 7000 руб., т.д. она больше всех значений признака за исключением одного-единственного наблюдения.
Для того чтобы таких случаев не происходило на практике, и средняя не теряла бы своего смысла (в примере 6.1 она уже не выполняет роль обобщающей характеристики совокупности, которой должна быть), при расчете средней следует аномальные, резко выделяющиеся наблюдения либо исключить из анализа и тем самым сделать совокупность однородной, либо разбить совокупность на однородные группы и вычислить средние значения по каждой группе и анализировать не общую среднюю, а групповые средние значения.
6.1. Средняя арифметическая и ее свойства
Средняя арифметическая вычисляется либо как простая, либо как взвешенная величина.
При расчете средней заработной платы по данным таблицы примера 6.1 мы сложили все значения признака и поделили на их количество. Ход наших вычислений запишем в виде формулы средней арифметической простой
где х i - варианты (отдельные значения признака);
п - число единиц в совокупности.
Пример 6.2. Теперь сгруппируем наши данные из таблицы примера 6.1, т.д. построим дискретный вариационный ряд распределения работающих по уровню заработной платы. Результаты группировки представлены в таблице.
Запишем выражение для вычисления среднего уровня заработной платы в более компактной форме:
В примере 6.2 была применена формула средней арифметической взвешенной
где f i - частоты, показывающие, сколько раз встречается значение признака х i y единиц совокупности.
Расчет средней арифметической взвешенной удобно проводить в таблице, как это показано ниже (табл. 6.3):
| Исходные данные | Расчетный показатель | |
| заработная плата, руб. | численность работающих, чел. | фонд заработной платы, руб. |
| x i | f i | x i f i |
| 5 950 | 6 | 35 760 |
| 6 790 | 8 | 54 320 |
| 7 000 | 6 | 42 000 |
| Итого | 20 | 132 080 |
Следует отметить, что средняя арифметическая простая используется в тех случаях, когда данные не сгруппированы или сгруппированы, но все частоты равны между собой.
Часто результаты наблюдения представляют в виде интервального ряда распределения (см. таблицу в примере 6.4). Тогда при расчете средней в качестве x i берут середины интервалов. Если первый и последний интервалы открыты (не имеют одной из границ), то их условно "закрывают", принимая за величины данного интервала величину примыкающего интервала, т.д. первый закрывают исходя из величины второго, а последний - по величине предпоследнего.
Пример 6.3. По результатам выборочного обследования одной из групп населения рассчитаем размер среднедушевого денежного дохода.
В приведенной таблице середина первого интервала равна 500. Действительно, величина второго интервала - 1000 (2000-1000); тогда нижняя граница первого равна 0 (1000-1000), а его середина - 500. Аналогично поступаем с последним интервалом. За его середину принимаем 25 000: величина предпоследнего интервала 10 000 (20 000-10 000), тогда его верхняя граница - 30 000 (20 000 + 10 000), а середина, соответственно, - 25 000.
| Среднедушевой денежный доход, руб. в месяц | Численность населения к итогу, % f i | Середины интервалов x i | x i f i |
|---|---|---|---|
| До 1 000 | 4,1 | 500 | 2 050 |
| 1 000-2 000 | 8,6 | 1 500 | 12 900 |
| 2 000-4 000 | 12,9 | 3 000 | 38 700 |
| 4 000-6 000 | 13,0 | 5 000 | 65 000 |
| 6 000-8 000 | 10,5 | 7 000 | 73 500 |
| 8 000-10 000 | 27,8 | 9 000 | 250 200 |
| 10 000-20 000 | 12,7 | 15 000 | 190 500 |
| 20 000 и выше | 10,4 | 25 000 | 260 000 |
| Итого | 100,0 | - | 892 850 |
Тогда среднедушевой размер месячного дохода составит
Тема 5. Средние величины как статистические показатели
Понятие средней величины. Область применения средних величин в статистическом исследовании
Средние величины используются на этапе обработки и обобщения полученных первичных статистических данных. Потребность определения средних величин связана с тем, что у различных единиц исследуемых совокупностей индивидуальные значения одного и того же признака, как правило, неодинаковы.
Средней величиной называют показатель, который характеризует обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности.
Если исследуется совокупность с качественно однородными признаками, то средняя величина выступает здесь как типическая средняя . Например, для групп работников определенной отрасли с фиксированным уровнем дохода определяется типическая средняя расходов на предметы первой необходимости, т.е. типическая средняя обобщает качественно однородные значения признака в данной совокупности, каковым является доля расходов у работников данной группы на товары первой необходимости.
При исследовании совокупности с качественно разнородными признаками на первый план может выступить нетипичность средних показателей. Такими, к примеру, являются средние показатели произведенного национального дохода на душу населения (разные возрастные группы), средние показатели урожайности зерновых культур по всей территории России (районы разных климатических зон и разных зерновых культур), средние показатели рождаемости населения по всем регионам страны, средние температуры за определенный период и т.д. Здесь средние величины обобщают качественно разнородные значения признаков или системных пространственных совокупностей (международное сообщество, континент, государство, регион, район и т.д.) или динамических совокупностей, протяженных во времени (век, десятилетие, год, сезон и т.д.). Такие средние величины называют системными средними .
Таким образом, значение средних величин состоит в их обобщающей функции. Средняя величина заменяет большое число индивидуальных значений признака, обнаруживая общие свойства, присущие всем единицам совокупности. Это, в свою очередь, позволяет избежать случайных причин и выявить общие закономерности, обусловленные общими причинами.
Виды средних величин и методы их расчета
На этапе статистической обработки могут быть поставлены самые различные задачи исследования, для решения которых нужно выбрать соответствующую среднюю. При этом необходимо руководствоваться следующим правилом: величины, которые представляют собой числитель и знаменатель средней, должны быть логически связаны между собой.
степенные средние ;
структурные средние .
Введем следующие условные обозначения:
Величины, для которых исчисляется средняя;
Средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений;
Частота (повторяемость индивидуальных значений признака).
Различные средние выводятся из общей формулы степенной средней:
(5.1)
при k = 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая; k = -2 - средняя квадратическая.
Средние величины бывают простые и взвешенные. Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи с чем каждый вариант приходится умножать на эту численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней .
Средняя арифметическая - самый распространенный вид средней. Она используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, где нужно получить среднее слагаемое. Средняя арифметическая - это такое среднее значение признака, при получении которого сохраняется неизменным общий объем признака в совокупности.
Формула средней арифметической (простой ) имеет вид
где n - численность совокупности.
Например, средняя заработная плата работников предприятия вычисляется как средняя арифметическая:
Определяющими показателями здесь являются заработная плата каждого работника и число работников предприятия. При вычислении средней общая сумма заработной платы осталась прежней, но распределенной как бы между всеми работниками поровну. К примеру, необходимо вычислить среднюю заработную плату работников небольшой фирмы, где заняты 8 человек:
При расчете средних величин отдельные значения признака, который осредняется, могут повторяться, поэтому расчет средней величины производится по сгруппированным данным. В этом случае речь идет об использовании средней арифметической взвешенной , которая имеет вид
(5.3)
Так, нам необходимо рассчитать средний курс акций какого-то акционерного общества на торгах фондовой биржи. Известно, что сделки осуществлялись в течение 5 дней (5 сделок), количество проданных акций по курсу продаж распределилось следующим образом:
1 - 800 ак. - 1010 руб.
2 - 650 ак. - 990 руб.
3 - 700 ак. - 1015 руб.
4 - 550 ак. - 900 руб.
5 - 850 ак. - 1150 руб.
Исходным соотношением для определения среднего курса стоимости акций является отношение общей суммы сделок (ОСС) к количеству проданных акций (КПА):
ОСС = 1010 ·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3 634 500;
КПА = 800+650+700+550+850=3550.
В этом случае средний курс стоимости акций был равен
Необходимо знать свойства арифметической средней, что очень важно как для ее использования, так и при ее расчете. Можно выделить три основных свойства, которые наиболее всего обусловили широкое применение арифметической средней в статистико-экономических расчетах.
Свойство первое (нулевое ): сумма положительных отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна сумме отрицательных отклонений. Это очень важное свойство, поскольку оно показывает, что любые отклонения (как с +, так и с -), вызванные случайными причинами, взаимно будут погашены.
Доказательство:
Свойство второе (минимальное ): сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа (а), т.е. есть число минимальное.
Доказательство.
Составим сумму квадратов отклонений от переменной а:
(5.4)
Чтобы найти экстремум этой функции, необходимо ее производную по а приравнять нулю:
Отсюда получаем:
(5.5)
Следовательно, экстремум суммы квадратов отклонений достигается при . Этот экстремум - минимум, так как функция не может иметь максимума.
Свойство третье : средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: при а = const.
Кроме этих трех важнейших свойств средней арифметической существуют так называемые расчетные свойства , которые постепенно теряют свою значимость в связи с использованием электронно-вычислительной техники:
если индивидуальное значение признака каждой единицы умножить или разделить на постоянное число, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз;
средняя арифметическая не изменится, если вес (частоту) каждого значения признака разделить на постоянное число;
если индивидуальные значения признака каждой единицы уменьшить или увеличить на одну и ту же величину, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на ту же самую величину.
Средняя гармоническая . Эту среднюю называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1.
Простая средняя гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно вывести из базовой формулы, подставив k = -1:
К примеру, нам нужно вычислить среднюю скорость двух автомашин, прошедших один и тот же путь, но с разной скоростью: первая - со скоростью 100 км/ч, вторая - 90 км/ч. Применяя метод средней гармонической, мы вычисляем среднюю скорость:
В статистической практике чаще используется гармоническая взвешенная, формула которой имеет вид
Данная формула используется в тех случаях, когда веса (или объемы явлений) по каждому признаку не равны. В исходном соотношении для расчета средней известен числитель, но неизвестен знаменатель.
Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемых в социально-экономических исследованиях, является средняя величина, представляющая собой обобщенную количественную характеристику признака статистической совокупности. Средние величины являются как бы «представителями» всего ряда наблюдений. Определить среднюю можно во многих случаях через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу: . Так, например, для расчета средней заработной платы работников предприятия необходимо общий фонд заработной платы разделить на число работников: Числитель исходного соотношения средней представляет собой ее определяющий показатель. Для средней заработной платы таким определяющим показателем является фонд заработной платы. Для каждого показателя, используемого в социально-экономическом анализе, можно составить только одно истинное исходное соотношение для расчета средней. Следует еще добавить, что для того, чтобы более точно оценить стандартное отклонение для малых выборок (с числом элементов менее 30), в знаменателе выражения под корнем надо использовать не n , а n- 1.
Понятие и виды средних величин
Средняя величина - это обобщающий показатель статистической совокупности, который погашает индивидуальные различия значений статистических величин, позволяя сравнивать разные совокупности между собой. Существует 2 класса средних величин: степенные и структурные. К структурным средним относятсямода имедиана , но наиболее часто применяютсястепенные средние различных видов.Степенные средние величины
Степенные средние могут быть простыми и взвешенными .
Простая средняя величина рассчитывается при наличии двух и более несгруппированных статистических величин, расположенных в произвольном порядке по следующей общей формуле средней степенной (при различной величине k (m)):
Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием следующей общей формулы:
Где x - средняя величина исследуемого явления; x i – i -й вариант усредняемого признака ;
f i – вес i -го варианта.
Где X – значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов;
m - показатель степени, от значения которого зависят следующие виды степенных средних величин:
при m = -1 средняя гармоническая;
при m = 0 средняя геометрическая;
при m = 1 средняя арифметическая;
при m = 2 средняя квадратическая;
при m = 3 средняя кубическая.
Используя общие формулы простой и взвешенной средних при разных показателях степени m, получаем частные формулы каждого вида, которые будут далее подробно рассмотрены.
Средняя арифметическая
Средняя арифметическая – начальный момент первого порядка, математическое ожидание значений случайной величины при большом числе испытаний;
Средняя арифметическая - это самая часто используемая средняя величина, которая получается, если подставить в общую формулу m=1. Средняя арифметическая простая имеет следующий вид:
или
Где X - значения величин, для которых необходимо рассчитать среднее значение; N - общее количество значений X (число единиц в изучаемой совокупности).
Например, студент сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5. Рассчитаем средний балл по формуле средней арифметической простой: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4. Средняя арифметическая взвешенная имеет следующий вид:
Где f - количество величин с одинаковым значением X (частота). >Например, студент сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5. Рассчитаем средний балл по формуле средней арифметической взвешенной: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4. Если значения X заданы в виде интервалов, то для расчетов используют середины интервалов X, которые определяются как полусумма верхней и нижней границ интервала. А если у интервала X отсутствует нижняя или верхняя граница (открытый интервал), то для ее нахождения применяют размах (разность между верхней и нижней границей) соседнего интервала X. Например, на предприятии 10 работников со стажем работы до 3 лет, 20 - со стажем от 3 до 5 лет, 5 работников - со стажем более 5 лет. Тогда рассчитаем средний стаж работников по формуле средней арифметической взвешенной, приняв в качестве X середины интервалов стажа (2, 4 и 6 лет): (2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3,71 года.
Функция СРЗНАЧ
Эта функция вычисляет среднее (арифметическое) своих аргументов.
СРЗНАЧ(число1; число2; ...)
Число1, число2, ... - это от 1 до 30 аргументов, для которых вычисляется среднее.
Аргументы должны быть числами или именами, массивами или ссылками, содержащими числа. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако, ячейки, которые содержат нулевые значения, учитываются.
Функция СРЗНАЧА
Вычисляет среднее арифметическое значений, заданных в списке аргументов. Помимо чисел в расчете могут участвовать текст и логические значения, такие как ИСТИНА и ЛОЖЬ.
СРЗНАЧА(значение1,значение2,...)
Значение1, значение2,... - это от 1 до 30 ячеек, интервалов ячеек или значений, для которых вычисляется среднее.
Аргументы должны быть числами, именами, массивами или ссылками. Массивы и ссылки, содержащие текст, интерпретируются как 0 (ноль). Пустой текст ("") интерпретируется как 0 (ноль). Аргументы, содержащие значение ИСТИНА, интерпретируются как 1, Аргументы, содержащие значение ЛОЖЬ, интерпретируются как 0 (ноль).
Средняя арифметическая применяется чаще всего, но бывают случаи, когда необходимо применение других видов средних величин. Рассмотрим такие случаи далее.
Средняя гармоническая
Средняя гармоническая для определения средней суммы обратных величин;
Средняя гармоническая применяется, когда исходные данные не содержат частот f по отдельным значениям X, а представлены как их произведение Xf. Обозначив Xf=w, выразим f=w/X, и, подставив эти обозначения в формулу средней арифметической взвешенной, получим формулу средней гармонической взвешенной:
Таким
образом, средняя гармоническая взвешенная применяется тогда, когда неизвестны
частоты f, а известно w=Xf. В тех случаях, когда все w=1, то есть индивидуальные
значения X встречаются по 1 разу, применяется формула средней гармонической
простой:
или
Например, автомобиль ехал из пункта А в пункт Б со скоростью 90
км/ч, а обратно - со скоростью 110 км/ч. Для определения средней скорости
применим формулу средней гармонической простой, так как в примере дано
расстояние w 1 =w 2 (расстояние
из пункта А в пункт Б такое, же как и из Б в А), которое равно произведению
скорости (X) на время (f). Средняя скорость = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 км/ч.
Функция СРГАРМ
Возвращает среднее гармоническое множества данных. Среднее гармоническое - это величина, обратная к среднему арифметическому обратных величин.
СРГАРМ(число1;число2; ...)
Число1, число2, ... - это от 1 до 30 аргументов, для которых вычисляется среднее. Можно использовать массив или ссылку на массив вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой.
Среднее гармоническое всегда меньше среднего геометрического, которое всегда меньше среднего арифметического.
Средняя геометрическая
Средняя геометрическая для оценки средних темпов роста случайной величин, нахождения значения признака, равноудаленного от минимального и максимального значения;
Средняя геометрическая применяется при определении средних относительных изменений. Геометрическая средняя величина дает наиболее точный результат осреднения, если задача стоит в нахождении такого значения X, который был бы равноудален как от максимального, так и от минимального значения X. Например, в период с 2005 по 2008 годы индекс инфляции в России составлял: в 2005 году - 1,109; в 2006 - 1,090; в 2007 - 1,119; в 2008 - 1,133. Так как индекс инфляции - это относительное изменение (индекс динамики), то рассчитывать среднее значение нужно по средней геометрической: (1,109*1,090*1,119*1,133)^(1/4) = 1,1126, то есть за период с 2005 по 2008 ежегодно цены росли в среднем на 11,26%. Ошибочный расчет по средней арифметической дал бы неверный результат 11,28%.Функция СРГЕОМ
Возвращает среднее геометрическое значений массива или интервала положительных чисел. Например, функцию СРГЕОМ можно использовать для вычисления средних темпов роста, если задан составной доход с переменными ставками.
СРГЕОМ (число1; число2; ...)
Число1, число2, ... - это от 1 до 30 аргументов, для которых вычисляется среднее геометрическое. Можно использовать массив или ссылку на массив вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой.
Средняя квадратическая
Средняя квадратическая – начальный момент второго порядка.
Средняя квадратическая применяется в тех случая, когда исходные значения X могут быть как положительными, так и отрицательными, например при расчете средних отклонений.
Главной сферой применения квадратической средней является измерение вариации значений
X.
Средняя кубическая
Средняя кубическая – начальный момент третьего порядка.
Средняя кубическая применяется крайне редко, например, при расчете индексов нищеты населения для развивающихся стран (ИНН-1) и для развитых (ИНН-2), предложенных и рассчитываемых ООН.
Большое распространение в статистике имеют средние величины. Средние величины характеризуют качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.
Средняя - это один из распространенных приемов обобщений. Правильное понимание сущности средней определяет ее особую значимость в условиях рыночной экономики, когда средняя через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития.
Средняя величина - это обобщающие показатели, в которых находят выражение действия общих условий, закономерностей изучаемого явления.
Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного и выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений). Например, если рассчитывать среднюю заработную плату в кооперативах и на госпредприятиях, а результат распространить на всю совокупность, то средняя фиктивна, так как рассчитана по неоднородной совокупности, и такая средняя теряет всякий смысл.
При помощи средней происходит как бы сглаживание различий в величине признака, которые возникают по тем или иным причинам у отдельных единиц наблюдения.
Например, средняя выработка продавца зависит от многих причин: квалификации, стажа, возраста, формы обслуживания, здоровья и т.д.
Средняя выработка отражает общее свойство всей совокупности.
Средняя величина является отражением значений изучаемого признака, следовательно, измеряется в той же размерности, что и этот признак.
Каждая средняя величина характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку. Чтобы получить полное и всестороннее представление об изучаемой совокупности по ряду существенных признаков, в целом необходимо располагать системой средних величин, которые могут описать явление с разных сторон.
Существуют различные средние:
средняя арифметическая;
средняя геометрическая;
средняя гармоническая;
средняя квадратическая;
средняя хронологическая.
Рассмотрим некоторые виды средних, которые наиболее часто используются в статистике.
Средняя арифметическая
Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.
Отдельные значения признака называют
вариантами и обозначают через х ();
число единиц совокупности обозначают
через n, среднее значение признака -
через
.
Следовательно, средняя арифметическая
простая равна:
По данным дискретного ряда распределения видно, что одни и те же значения признака (варианты) повторяются несколько раз. Так, варианта х встречается в совокупности 2 раза, а варианта х-16 раз и т.д.
Число одинаковых значений признака в рядах распределения называется частотой или весом и обозначается символом n.
Вычислим среднюю заработную плату
одного рабочего
в руб.:
Фонд заработной платы по каждой группе рабочих равен произведению варианты на частоту, а сумма этих произведений дает общий фонд заработной платы всех рабочих.
В соответствии с этим, расчеты можно представить в общем виде:
Полученная формула называется средней арифметической взвешенной.
Статистический материал в результате обработки может быть представлен не только в виде дискретных рядов распределения, но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами.
Исчисление средней по сгруппированным данным производится по формуле средней арифметической взвешенной:
В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним). В таких случаях за варианты (х) принимаются групповые или частные средние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняя арифметическая взвешенная.
Основные свойства средней арифметической .
Средняя арифметическая обладает рядом свойств:
1. От уменьшения или увеличения частот каждого значения признака х в п раз величина средней арифметической не изменится.
Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то величина средней не изменится.
2. Общий множитель индивидуальных значений признака может быть вынесен за знак средней:
3. Средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:
4. Если х = с, где с - постоянная величина,
то
.
5. Сумма отклонений значений признака Х от средней арифметической х равна нулю:
Средняя гармоническая.
Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной.
Характеристиками вариационных рядов, наряду со средними, являются мода и медиана.
Мода - это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой.
Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:
где
- начальное значение интервала, содержащего
моду;
- величина модального интервала;
- частота модального интервала;
- частота интервала, предшествующего
модальному;
- частота интервала, следующего за
модальным.
Медиана - это варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда (упорядоченный ряд - это расположение единиц совокупности в возрастающем или убывающем порядке).
В большинстве случаев данные концентрируются вокруг некоей центральной точки. Таким образом, чтобы описать любой набор данных, достаточно указать средне значение. Рассмотрим последовательно три числовые характеристики, которые используются для оценки среднего значения распределения: среднее арифметическое, медиана и мода.
Среднее арифметическое
Среднее арифметическое (часто называемое просто средним) - наиболее распространенная оценка среднего значения распределения. Она является результатом деления суммы всех наблюдаемых числовых величин на их количество. Для выборки, состоящей из чисел Х 1 , Х 2 , …, Х n , выборочное среднее (обозначаемое символом ) равно = (Х 1 + Х 2 + … + Х n ) / n , или
где - выборочное среднее, n - объем выборки, X i – i-й элемент выборки.
Скачать заметку в формате или , примеры в формате
Рассмотрим вычисление среднего арифметического значения пятилетней среднегодовой доходности 15 взаимных фондов с очень высоким уровнем риска (рис. 1).
Рис. 1. Среднегодовая доходность 15 взаимных фондов с очень высоким уровнем риска
Выборочное среднее вычисляется следующим образом:
Это хороший доход, особенно по сравнению с 3–4% дохода, который получили вкладчики банков или кредитных союзов за тот же период времени. Если упорядочить значения доходности, то легко заметить, что восемь фондов имеют доходность выше, а семь - ниже среднего значения. Среднее арифметическое играет роль точки равновесия, так что фонды с низкими доходами уравновешивают фонды с высокими доходами. В вычислении среднего задействованы все элементы выборки. Ни одна из других оценок среднего значения распределения не обладает этим свойством.
Когда следует вычислять среднее арифметическое. Поскольку среднее арифметическое зависит от всех элементов выборки, наличие экстремальных значений значительно влияет на результат. В таких ситуациях среднее арифметическое может исказить смысл числовых данных. Следовательно, описывая набор данных, содержащий экстремальные значения, необходимо указывать медиану либо среднее арифметическое и медиану. Например, если удалить из выборки доходность фонда RS Emerging Growth, выборочное среднее доходности 14 фондов уменьшится почти на 1% и составит 5,19%.
Медиана
Медиана представляет собой срединное значение упорядоченного массива чисел. Если массив не содержит повторяющихся чисел, то половина его элементов окажется меньше, а половина - больше медианы. Если выборка содержит экстремальные значения, для оценки среднего значения лучше использовать не среднее арифметическое, а медиану. Чтобы вычислить медиану выборки, ее сначала необходимо упорядочить.
Эта формула неоднозначна. Ее результат зависит от четности или нечетности числа n :
- Если выборка содержит нечетное количество элементов, медиана равна (n+1)/2 -му элементу.
- Если выборка содержит четное количество элементов, медиана лежит между двумя средними элементами выборки и равна среднему арифметическому, вычисленному по этим двум элементам.
Чтобы вычислить медиану выборки, содержащей данные о доходности 15 взаимных фондов с очень высокий уровнем риска, сначала необходимо упорядочить исходные данные (рис. 2). Тогда медиана будет напротив номера среднего элемента выборки; в нашем примере №8. В Excel есть специальная функция =МЕДИАНА(), которая работает и с неупорядоченными массивами тоже.
Рис. 2. Медиана 15 фондов
Таким образом, медиана равна 6,5. Это означает, что доходность одной половины фондов с очень высоким уровнем риска не превышает 6,5, а доходность второй половины - превышает ее. Обратите внимание на то, что медиана, равная 6,5, ненамного больше среднего значения, равного 6,08.
Если удалить из выборки доходность фонда RS Emerging Growth, то медиана оставшихся 14 фондов уменьшится до 6,2%, то есть не так значительно, как среднее арифметическое (рис. 3).
Рис. 3. Медиана 14 фондов
Мода
Термин был впервые введен Пирсоном в 1894 г. Мода - это число, которое чаще других встречается в выборке (наиболее модное). Мода хорошо описывает, например, типичную реакцию водителей на сигнал светофора о прекращении движения. Классический пример использования моды - выбор размера выпускаемой партии обуви или цвета обоев. Если распределение имеет несколько мод, то говорят, что оно мультимодально или многомодально (имеет два или более «пика»). Мультимодальность распределения дает важную информацию о природе исследуемой переменной. Например, в социологических опросах, если переменная представляет собой предпочтение или отношение к чему-то, то мультимодальность может означать, что существуют несколько определенно различных мнений. Мультимодальность также служит индикатором того, что выборка не является однородной и наблюдения, возможно, порождены двумя или более «наложенными» распределениями. В отличие от среднего арифметического, выбросы на моду не влияют. Для непрерывно распределенных случайных величин, например, для показателей среднегодовой доходности взаимных фондов, мода иногда вообще не существует (или не имеет смысла). Поскольку эти показатели могут принимать самые разные значения, повторяющиеся величины встречаются крайне редко.
Квартили
Квартили - это показатели, которые чаще всего используются для оценки распределения данных при описании свойств больших числовых выборок. В то время как медиана разделяет упорядоченный массив пополам (50% элементов массива меньше медианы и 50% - больше), квартили разбивают упорядоченный набор данных на четыре части. Величины Q 1 , медиана и Q 3 являются 25-м, 50-м и 75-м перцентилем соответственно. Первый квартиль Q 1 - это число, разделяющее выборку на две части: 25% элементов меньше, а 75% - больше первого квартиля.
Третий квартиль Q 3 - это число, разделяющее выборку также на две части: 75% элементов меньше, а 25% - больше третьего квартиля.
Для расчета квартилей в версиях Excel до 2007 г. использовалась функция =КВАРТИЛЬ(массив;часть). Начиная с версии Excel2010 применяются две функции:
- =КВАРТИЛЬ.ВКЛ(массив;часть)
- =КВАРТИЛЬ.ИСКЛ(массив;часть)
Эти две функции дают немного различные значения (рис. 4). Например, при вычислении квартилей выборки, содержащей данные о среднегодовой доходности 15 взаимных фондов с очень высоким уровнем риска Q 1 = 1,8 или –0,7 для КВАРТИЛЬ.ВКЛ и КВАРТИЛЬ.ИСКЛ, соответственно. Кстати функция КВАРТИЛЬ, использовавшаяся ранее соответствует современной функции КВАРТИЛЬ.ВКЛ. Для расчета квартилей в Excel с помощью вышеприведенных формул массив данных можно не упорядочивать.
Рис. 4. Вычисление квартилей в Excel
Подчеркнем еще раз. Excel умеет рассчитывать квартили для одномерного дискретного ряда , содержащего значения случайной величины. Расчет квартилей для распределения на основе частот приведен ниже в разделе .
Среднее геометрическое
В отличие от среднего арифметического среднее геометрическое позволяет оценить степень изменения переменной с течением времени. Среднее геометрическое - это корень n -й степени из произведения n величин (в Excel используется функция =СРГЕОМ):
G = (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n
Похожий параметр – среднее геометрическое значение нормы прибыли – определяется формулой:
G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n – 1,
где R i – норма прибыли за i -й период времени.
Например, предположим, что объем вложенных средств в исходный момент времени равен 100 000 долл. К концу первого года он падает до уровня 50 000 долл., а к концу второго года восстанавливается до исходной отметки 100 000 долл. Норма прибыли этой инвестиции за двухлетний период равна 0, поскольку первоначальный и финальный объем средств равны между собой. Однако среднее арифметическое годовых норм прибыли равно = (–0,5 + 1) / 2 = 0,25 или 25%, поскольку норма прибыли в первый год R 1 = (50 000 – 100 000) / 100 000 = –0,5, а во второй R 2 = (100 000 – 50 000) / 50 000 = 1. В то же время, среднее геометрическое значение нормы прибыли за два года равно: G = [(1–0,5) * (1+1)] 1/2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. Таким образом, среднее геометрическое точнее отражает изменение (точнее, отсутствие изменений) объема инвестиций за двухлетний период, чем среднее арифметическое.
Интересные факты. Во-первых, среднее геометрическое всегда будет меньше среднего арифметического тех же чисел. За исключением случая, когда все взятые числа равны друг другу. Во-вторых, рассмотрев свойства прямоугольного треугольника, можно понять, почему среднее называется геометрическим. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу (рис. 5). Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, тогда высота, восставленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину:
Рис. 5. Геометрическая природа среднего геометрического (рисунок из Википедии)
Второе важное свойство числовых данных - их вариация , характеризующая степень дисперсии данных. Две разные выборки могут отличаться как средними значениями, так и вариациями. Однако, как показано на рис. 6 и 7, две выборки могут иметь одинаковые вариации, но разные средние значения, либо одинаковые средние значения и совершенно разные вариации. Данные, которым соответствует полигон В на рис. 7, изменяются намного меньше, чем данные, по которым построен полигон А.
Рис. 6. Два симметричных распределения колоколообразной формы с одинаковым разбросом и разными средними значениями
Рис. 7. Два симметричных распределения колоколообразной формы с одинаковыми средними значениями и разным разбросом
Существует пять оценок вариации данных:
- размах,
- межквартильный размах,
- дисперсия,
- стандартное отклонение,
- коэффициент вариации.
Размах
Размахом называется разность между наибольшим и наименьшим элементами выборки:
Размах = Х Max – Х Min
Размах выборки, содержащей данные о среднегодовой доходности 15 взаимных фондов с очень высоким уровнем риска, можно вычислить, используя упорядоченный массив (см. рис. 4): Размах = 18,5 – (–6,1) = 24,6. Это значит, что разница между наибольшей и наименьшей среднегодовой доходностью фондов с очень высоким уровнем риска равна 24,6% .
Размах позволяет измерить общий разброс данных. Хотя размах выборки является весьма простой оценкой общего разброса данных, его слабость заключается в том, что он никак не учитывает, как именно распределены данные между минимальным и максимальным элементами. Этот эффект хорошо прослеживается на рис. 8, который иллюстрирует выборки, имеющие одинаковый размах. Шкала В демонстрирует, что если выборка содержит хотя бы одно экстремальное значение, размах выборки оказывается весьма неточной оценкой разброса данных.
Рис. 8. Сравнение трех выборок, имеющих одинаковый размах; треугольник символизирует опору весов, и его расположение соответствует среднему значению выборки
Межквартильный размах
Межквартильный, или средний, размах - это разность между третьим и первым квартилями выборки:
Межквартильный размах = Q 3 – Q 1
Эта величина позволяет оценить разброс 50% элементов и не учитывать влияние экстремальных элементов. Межквартильный размах выборки, содержащей данные о среднегодовой доходности 15 взаимных фондов с очень высоким уровнем риска, можно вычислить, используя данные на рис. 4 (например, для функции КВАРТИЛЬ.ИСКЛ): Межквартильный размах = 9,8 – (–0,7) = 10,5. Интервал, ограниченный числами 9,8 и –0,7, часто называют средней половиной.
Следует отметить, что величины Q 1 и Q 3 , а значит, и межквартильный размах, не зависят от наличия выбросов, поскольку при их вычислении не учитывается ни одна величина, которая была бы меньше Q 1 или больше Q 3 . Суммарные количественные характеристики, такие как медиана, первый и третий квартили, а также межквартильный размах, на которые не влияют выбросы, называются устойчивыми показателями.
Хотя размах и межквартильный размах позволяют оценить общий и средний разброс выборки соответственно, ни одна из этих оценок не учитывает, как именно распределены данные. Дисперсия и стандартное отклонение лишены этого недостатка. Эти показатели позволяют оценить степень колебания данных вокруг среднего значения. Выборочная дисперсия является приближением среднего арифметического, вычисленного на основе квадратов разностей между каждым элементом выборки и выборочным средним. Для выборки Х 1 , Х 2 , … Х n выборочная дисперсия (обозначаемая символом S 2 задается следующей формулой:
В общем случае выборочная дисперсия - это сумма квадратов разностей между элементами выборки и выборочным средним, деленная на величину, равную объему выборки минус один:
где - арифметическое среднее, n - объем выборки, X i - i -й элемент выборки X . В Excel до версии 2007 для расчета выборочной дисперсии использовалась функция =ДИСП(), с версии 2010 используется функция =ДИСП.В().
Наиболее практичной и широко распространенной оценкой разброса данных является стандартное выборочное отклонение . Этот показатель обозначается символом S и равен квадратному корню из выборочной дисперсии:
В Excel до версии 2007 для расчета стандартного выборочного отклонения использовалась функция =СТАНДОТКЛОН(), с версии 2010 используется функция =СТАНДОТКЛОН.В(). Для расчета этих функций массив данных может быть неупорядоченным.
Ни выборочная дисперсия, ни стандартное выборочное отклонение не могут быть отрицательными. Единственная ситуация, в которой показатели S 2 и S могут быть нулевыми, - если все элементы выборки равны между собой. В этом совершенно невероятном случае размах и межквартильный размах также равны нулю.
Числовые данные по своей природе изменчивы. Любая переменная может принимать множество разных значений. Например, разные взаимные фонды имеют разные показатели доходности и убытков. Вследствие изменчивости числовых данных очень важно изучать не только оценки среднего значения, которые по своей природе являются суммарными, но и оценки дисперсии, характеризующие разброс данных.
Дисперсия и стандартное отклонение позволяют оценить разброс данных вокруг среднего значения, иначе говоря, определить, сколько элементов выборки меньше среднего, а сколько - больше. Дисперсия обладает некоторыми ценными математическими свойствами. Однако ее величина представляет собой квадрат единицы измерения - квадратный процент, квадратный доллар, квадратный дюйм и т.п. Следовательно, естественной оценкой дисперсии является стандартное отклонение, которое выражается в обычных единицах измерений - процентах дохода, долларах или дюймах.
Стандартное отклонение позволяет оценить величину колебаний элементов выборки вокруг среднего значения. Практически во всех ситуациях основное количество наблюдаемых величин лежит в интервале плюс-минус одно стандартное отклонение от среднего значения. Следовательно, зная среднее арифметическое элементов выборки и стандартное выборочное отклонение, можно определить интервал, которому принадлежит основная масса данных.
Стандартное отклонение доходности 15 взаимных фондов с очень высоким уровнем риска равно 6,6 (рис. 9). Это значит, что доходность основной массы фондов отличается от среднего значения не более чем на 6,6% (т.е. колеблется в интервале от – S = 6,2 – 6,6 = –0,4 до + S = 12,8). Фактически в этом интервале лежит пятилетняя среднегодовая доходность 53,3% (8 из 15) фондов.
Рис. 9. Стандартное выборочное отклонение
Обратите внимание на то, что в процессе суммирования квадратов разностей элементы выборки, лежащие дальше от среднего значения, приобретают больший вес, чем элементы, лежащие ближе. Это свойство является основной причиной того, что для оценки среднего значения распределения чаще всего используется среднее арифметическое значение.
Коэффициент вариации
В отличие от предыдущих оценок разброса, коэффициент вариации является относительной оценкой. Он всегда измеряется в процентах, а не в единицах измерения исходных данных. Коэффициент вариации, обозначаемый символами CV, измеряет рассеивание данных относительно среднего значения. Коэффициент вариации равен стандартному отклонению, деленному на среднее арифметическое и умноженному на 100%:
где S - стандартное выборочное отклонение, - выборочное среднее.
Коэффициент вариации позволяет сравнить две выборки, элементы которых выражаются в разных единицах измерения. Например, управляющий службы доставки корреспонденции намеревается обновить парк грузовиков. При погрузке пакетов следует учитывать два вида ограничений: вес (в фунтах) и объем (в кубических футах) каждого пакета. Предположим, что в выборке, содержащей 200 пакетов, средний вес равен 26,0 фунтов, стандартное отклонение веса 3,9 фунтов, средний объем пакета 8,8 кубических футов, а стандартное отклонение объема 2,2 кубических фута. Как сравнить разброс веса и объема пакетов?
Поскольку единицы измерения веса и объема отличаются друг от друга, управляющий должен сравнить относительный разброс этих величин. Коэффициент вариации веса равен CV W = 3,9 / 26,0 * 100% = 15%, а коэффициент вариации объема CV V = 2,2 / 8,8 * 100% = 25% . Таким образом, относительный разброс объема пакетов намного больше относительного разброса их веса.
Форма распределения
Третье важное свойство выборки - форма ее распределения. Это распределение может быть симметричным или асимметричным. Чтобы описать форму распределения, необходимо вычислить его среднее значение и медиану. Если эти два показателя совпадают, переменная считается симметрично распределенной. Если среднее значение переменной больше медианы, ее распределение имеет положительную асимметрию (рис. 10). Если медиана больше среднего значения, распределение переменной имеет отрицательную асимметрию. Положительная асимметрия возникает, когда среднее значение увеличивается до необычайно высоких значений. Отрицательная асимметрия возникает, когда среднее значение уменьшается до необычайно малых значений. Переменная является симметрично распределенной, если она не принимает никаких экстремальных значений ни в одном из направлений, так что большие и малые значения переменной уравновешивают друг друга.
Рис. 10. Три вида распределений
Данные, изображенные на шкале А, имеют отрицательную асимметрию. На этом рисунке виден длинный хвост и перекос влево, вызванные наличием необычно малых значений. Эти крайне малые величины смещают среднее значение влево, и оно становится меньше медианы. Данные, изображенные на шкале Б, распределены симметрично. Левая и правая половины распределения являются своими зеркальными отражениями. Большие и малые величины уравновешивают друг друга, а среднее значение и медиана равны между собой. Данные, изображенные на шкале В, имеют положительную асимметрию. На этом рисунке виден длинный хвост и перекос вправо, вызванные наличием необычайно высоких значений. Эти слишком большие величины смещают среднее значение вправо, и оно становится больше медианы.
В Excel описательные статистики можно получить с помощью надстройки Пакет анализа . Пройдите по меню Данные → Анализ данных , в открывшемся окне выберите строку Описательная статистика и кликните Ok . В окне Описательная статистика обязательно укажите Входной интервал (рис. 11). Если вы хотите увидеть описательные статистики на том же листе, что и исходные данные, выберите переключатель Выходной интервал и укажите ячейку, куда следует поместить левый верхний угол выводимых статистик (в нашем примере $C$1). Если вы хотите вывести данные на новый лист или в новую книгу, достаточно просто выбрать соответствующий переключатель. Поставьте галочку напротив Итоговая статистика . По желанию также можно выбрать Уровень сложности, k-й наименьший и k-й наибольший .
Если на вкладе Данные в области Анализ у вас не отображается пиктограмма Анализ данных , нужно предварительно установить надстройку Пакет анализа (см., например, ).
Рис. 11. Описательные статистики пятилетней среднегодовой доходности фондов с очень высоким уровнями риска, вычисленные с помощью надстройки Анализ данных программы Excel
Excel вычисляет целый ряд статистик, рассмотренных выше: среднее, медиану, моду, стандартное отклонение, дисперсию, размах (интервал ), минимум, максимум и объем выборки (счет ). Кроме того, Excel вычисляет некоторые новые для нас статистики: стандартную ошибку, эксцесс и асимметричность. Стандартная ошибка равна стандартному отклонению, деленному на квадратный корень объема выборки. Асимметричность характеризует отклонение от симметричности распределения и является функцией, зависящей от куба разностей между элементами выборки и средним значением. Эксцесс представляет собой меру относительной концентрации данных вокруг среднего значения по сравнению с хвостами распределения и зависит от разностей между элементами выборки и средним значением, возведенных в четвертую степень.
Вычисление описательных статистик для генеральной совокупности
Среднее значение, разброс и форма распределения, рассмотренные выше, представляют собой характеристики, определяемые по выборке. Однако, если набор данных содержит числовые измерения всей генеральной совокупности, можно вычислить ее параметры. К числу таких параметров относятся математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение генеральной совокупности.
Математическое ожидание равно сумме всех значений генеральной совокупности, деленной на объем генеральной совокупности:
где µ - математическое ожидание, X i - i -е наблюдение переменной X , N - объем генеральной совокупности. В Excel для вычисления математического ожидания используется та же функция, что и для среднего арифметического: =СРЗНАЧ().
Дисперсия генеральной совокупности равна сумме квадратов разностей между элементами генеральной совокупности и мат. ожиданием, деленной на объем генеральной совокупности:
где σ 2 – дисперсия генеральной совокупности. В Excel до версии 2007 для вычисления дисперсии генеральной совокупности используется функция =ДИСПР(), начиная с версии 2010 =ДИСП.Г().
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно квадратному корню, извлеченному из дисперсии генеральной совокупности:
В Excel до версии 2007 для вычисления стандартного отклонения генеральной совокупности используется функция =СТАНДОТКЛОНП(), начиная с версии 2010 =СТАНДОТКЛОН.Г(). Обратите внимание на то, что формулы для дисперсии и стандартного отклонения генеральной совокупности отличаются от формул для вычисления выборочной дисперсии и стандартного отклонения. При вычислении выборочных статистик S 2 и S знаменатель дроби равен n – 1 , а при вычислении параметров σ 2 и σ - объему генеральной совокупности N .
Эмпирическое правило
В большинстве ситуаций крупная доля наблюдений концентрируется вокруг медианы, образуя кластер. В наборах данных, имеющих положительную асимметрию, этот кластер расположен левее (т.е. ниже) математического ожидания, а в наборах, имеющих отрицательную асимметрию, этот кластер расположен правее (т.е. выше) математического ожидания. У симметричных данных математическое ожидание и медиана совпадают, а наблюдения концентрируются вокруг математического ожидания, формируя колоколообразное распределение. Если распределение не имеет ярко выраженной асимметрии, а данные концентрируются вокруг некоего центра тяжести, для оценки изменчивости можно применять эмпирическое правило, которое гласит: если данные имеют колоколообразное распределение, то приблизительно 68% наблюдений отстоят от математического ожидания не более чем на одно стандартное отклонение, приблизительно 95% наблюдений отстоят от математического ожидания не более чем на два стандартных отклонения и 99,7% наблюдений отстоят от математического ожидания не более чем на три стандартных отклонения.
Таким образом, стандартное отклонение, представляющее собой оценку среднего колебания вокруг математического ожидания, помогает понять, как распределены наблюдения, и идентифицировать выбросы. Из эмпирического правила следует, что для колоколообразных распределений лишь одно значение из двадцати отличается от математического ожидания больше, чем на два стандартных отклонения. Следовательно, значения, лежащие за пределами интервала µ ± 2σ , можно считать выбросами. Кроме того, только три из 1000 наблюдений отличаются от математического ожидания больше чем на три стандартных отклонения. Таким образом, значения, лежащие за пределами интервала µ ± 3σ практически всегда являются выбросами. Для распределений, имеющих сильную асимметрию или не имеющих колоколообразной формы, можно применять эмпирическое правило Бьенамэ-Чебышева.
Более ста лет назад математики Бьенамэ и Чебышев независимо друг от друга открыли полезное свойство стандартного отклонения. Они обнаружили, что для любого набора данных, независимо от формы распределения, процент наблюдений, лежащих на расстоянии не превышающем k стандартных отклонений от математического ожидания, не меньше (1 – 1/ k 2)*100% .
Например, если k = 2, правило Бьенамэ-Чебышева гласит, что как минимум (1 – (1/2) 2) х 100% = 75% наблюдений должно лежать в интервале µ ± 2σ . Это правило справедливо для любого k , превышающего единицу. Правило Бьенамэ-Чебышева носит весьма общий характер и справедливо для распределений любого вида. Оно указывает минимальное количество наблюдений, расстояние от которых до математического ожидания не превышает заданной величины. Однако, если распределение имеет колоколообразную форму, эмпирическое правило более точно оценивает концентрацию данных вокруг математического ожидания.
Вычисление описательных статистик для распределения на основе частот
Если исходные данные недоступны, единственным источником информации становится распределение частот. В таких ситуациях можно вычислить приближенные значения количественных показателей распределения, таких как среднее арифметическое, стандартное отклонение, квартили.
Если выборочные данные представлены в виде распределения частот, приближенное значение среднего арифметического можно вычислить, предполагая, что все значения внутри каждого класса сосредоточены в средней точке класса:
где - выборочное среднее, n - количество наблюдений, или объем выборки, с - количество классов в распределении частот, m j - средняя точка j -гo класса, f j - частота, соответствующая j -му классу.
Для вычисления стандартного отклонения по распределению частот также предполагается, что все значения внутри каждого класса сосредоточены в средней точке класса.
Чтобы понять, как определяются квартили ряда на основе частот, рассмотрим расчет нижнего квартиля на основе данных за 2013 г. о распределении населения России по величине среднедушевых денежных доходов (рис. 12).
Рис. 12. Доля населения России со среднедушевыми денежными доходами в среднем за месяц, рублей
Для расчета первого квартиля интервального вариационного ряда можно воспользоваться формулой:
где Q1 – величина первого квартиля, хQ1 – нижняя граница интервала, содержащего первый квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%); i – величина интервала; Σf – сумма частот всей выборки; наверное, всегда равна 100%; SQ1–1 – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль; fQ1 – частота интервала, содержащего нижний квартиль. Формула для третьего квартиля отличается тем, что во всех местах вместо Q1 нужно использовать Q3, а вместо ¼ подставить ¾.
В нашем примере (рис. 12) нижний квартиль находится в интервале 7000,1 – 10 000, накопленная частота которого равна 26,4%. Нижняя граница этого интервала – 7000 руб., величина интервала – 3000 руб., накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль – 13,4%, частота интервала, содержащего нижний квартиль – 13,0%. Таким образом: Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 – 13,4) / 13 = 9677 руб.
Ловушки, связанные с описательными статистиками
В этой заметке мы рассмотрели, как описать набор данных с помощью различных статистик, оценивающих его среднее значение, разброс и вид распределения. Следующим этапом является анализ и интерпретация данных. До сих пор мы изучали объективные свойства данных, а теперь переходим к их субъективной трактовке. Исследователя подстерегают две ошибки: неверно выбранный предмет анализа и неправильная интерпретация результатов.
Анализ доходности 15 взаимных фондов с очень высоким уровнем риска является вполне беспристрастным. Он привел к совершенно объективным выводам: все взаимные фонды имеют разную доходность, разброс доходности фондов колеблется от –6,1 до 18,5, а средняя доходность равна 6,08. Объективность анализа данных обеспечивается правильным выбором суммарных количественных показателей распределения. Было рассмотрено несколько способов оценки среднего значения и разброса данных, указаны их преимущества и недостатки. Как же выбрать правильную статистику, обеспечивающую объективный и беспристрастный анализ? Если распределение данных имеет небольшую асимметрию, следует ли выбирать медиану, а не среднее арифметическое? Какой показатель более точно характеризует разброс данных: стандартное отклонение или размах? Следует ли указывать на положительную асимметрию распределения?
С другой стороны, интерпретация данных является субъективным процессом. Разные люди приходят к разным выводам, истолковывая одни и те же результаты. У каждого своя точка зрения. Кто-то считает суммарные показатели среднегодовой доходности 15 фондов с очень высоким уровнем риска хорошими и вполне доволен полученным доходом. Другим может показаться, что эти фонды имеют слишком низкую доходность. Таким образом, субъективность следует компенсировать честностью, нейтральностью и ясностью выводов.
Этические проблемы
Анализ данных неразрывно связан с этическими вопросами. Следует критически относиться к информации, распространяемой газетами, радио, телевидением и Интерентом. Со временем вы научитесь скептически относиться не только к результатам, но и к целям, предмету и объективности исследований. Лучше всего об этом сказал известный британский политик Бенджамин Дизраэли: «Существуют три вида лжи: ложь, наглая ложь и статистика».
Как было отмечено в заметке этические проблемы возникают при выборе результатов, которые следует привести в отчете. Следует публиковать как положительные, так и отрицательные результаты. Кроме того, делая доклад или письменный отчет, результаты необходимо излагать честно, нейтрально и объективно. Следует различать неудачную и нечестную презентации. Для этого необходимо определить, каковы были намерения докладчика. Иногда важную информацию докладчик пропускает по невежеству, а иногда - умышленно (например, если он применяет среднее арифметическое для оценки среднего значения явно асимметричных данных, чтобы получить желаемый результат). Нечестно также замалчивать результаты, которые не соответствуют точке зрения исследователя.
Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 178–209
Функция КВАРТИЛЬ оставлена для совмещения с более ранними версиями Excel
