Точки экстремума функции презентация. Экстремумы функций. «Применение производной к исследованию функций» - презентация. Актуализация знаний. «Мозговой штурм»

Урок и презентация по теме "Экстремум функции". 11 класс. Учебник Алимова.

Просмотр содержимого документа
«8.12 экстремумы функции.»

Тема: «Экстремумы функции»

Скажи мне, и я забуду.
Покажи мне, и я запомню.
Вовлеки меня, и я научусь.
Китайская мудрость.

Цели урока:

Образовательные:

Опираясь на знания учащихся по производной функции помочь сформулировать и осознать определение понятий критических, стационарных точек и точек экстремума; подвести к гипотезе: необходимое и достаточное условие существования экстремума функции.

Создать условие для первичного закрепления учащимися умения аналитически и графически определять наличие у функции критических, стационарных точек и точек экстремума.

Подготовить учащихся к сдаче ЕГЭ.

Развивающие:

Способствовать развитию учебно-познавательной деятельности, логического мышления.

Воспитательные:

Сформировать умения наблюдать, подмечать закономерности, обобщать, проводить рассуждения по аналогии.

Развивать мышление, внимание, речь учащегося.

Сформировать обще трудовые умения в условиях наибольшей ответственности и ограниченности во времени.

Воспитывать умение прислушиваться к другому мнению и отстаивать свою точку зрения.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Ход урока:

I . Организационный момент (Метод информационно-сообщающий)

Актуализация знаний. «Мозговой штурм»

1.Вычислить производную функции: (задание выполняется самостоятельно, с дальнейшей самопроверкой, количество правильных заданий отмечают в листе самоконтроля)

	f(x) = 3х 2 – 4 х + 5
	f(x) = sin x – cos x
	f(x) = e x + ln x
	f(x) = е 2х - 6е х + 7
	f(x) = - х 3 + 3х 2 + 9 х - 29

2. Решить неравенство: (у доски)

3.Определить промежутки монотонности функции: (у доски два ученика )

А) f (x ) = 3х – 9 (1 балл)

Б) f (x ) = х 2 + 6х – 9 (2 балла)

II . Исследовательская работа. (на миллиметровой бумаге)

Ответьте на вопросы:

IV . Выдвижение гипотезы (Частично поисковый (эвристический метод))

(учащиеся выдвигают гипотезу)

Если производная меняет знак с «-» на «+», а в самой точке равна 0, то данная точка будет точкой минимума функции. (за выдвижение гипотезы – 4 балла)

Ответьте на вопросы:

Назовите промежутки возрастания и убывания полученного графика.

Как ведет себя производная вблизи этой точки, при переходе через эту точку? А в самой этой точке?

Работа с учебником.

Стр. 265 – 266. Найти в тексте сформулированную вами гипотезу.

Прочтите её.

Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.

Чем мы будем заниматься на сегодняшнем уроке?

(учиться находить точки экстремума функции)

Какая тема нашего урока?

Экстремумы функции. Записали тему урока.

Сообщение ученицы (метод стимулирования учебной деятельности школьников)

Выдвинутую вами гипотезу доказал французский математик Пьер Ферма 4 века назад.

(историческая справка)

Пьер Ферма (1601-1665) - французский математик, один из создателей аналитической геометрии и теории чисел (теоремы Ферма). Труды по теории вероятностей, исчислению бесконечно малых и оптике (принцип Ферма).

(учащиеся читают формулировку теорему )

Работа с книгой стр. 267

Найти какие точки называются стационарными, критическими.

(Точки, в которых производная функции равна нулю, называют стационарными

Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема, называют критическими точками этой функции )

Работа с сигнальными карточками .

Если утверждение верно – «да», если нет – « нет» (игра «ДА, НЕТ»

За правильный ответ 1 балл

Стр. 268 теорема. (учащиеся её зачитывают и дают пояснения, как они её понимают)

Достаточный признак экстремума .

У доски: за правильное выполнение – 5 баллов.

Составить алгоритм нахождения точек экстремума функции .

1. Найти область определения функции.

2. Найти f"(x ).

x ) = 0 или f"(x ) не существует.
(Производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя)

4. Расположить область определения и эти точки на координатной прямой.

5. Определить знаки производной на каждом из интервалов

6. Применить признаки.

7. Записать ответ.

(Практический метод)

Работа с материалами ЕГЭ

Функция y = f (x ) определена на промежутке (-4; 5). На рисунке изображён график её производной. Найдите точку минимума функции y = f (x )

Функция y = f (x ) определена на промежутке (- 6; 6). На рисунке изображён график её производной. Найдите точки, в которых производная функции равна нулю (Ответ: х = - 4; х = - 2; х = 1; х = 5).

Итог урока: выставление оценок (по листам самоконтроля)

рефлексия учащихся

Хотелось бы лучше научиться …

Мне нравится …

Мне не нравится …

На уроке я чувствовала себя …

С домашней работой я …

Просмотр содержимого презентации
«8.12 экстремумы функции»

Скажи мне, и я забуду. Покажи мне, и я запомню. Вовлеки меня, и я научусь.

Китайская мудрость.

f(x) = 3х 2 – 4 х + 5

f(x) = sin x – cos x

f(x) = e x + ln x

f(x) = е 2х - 6е х + 7

f(x) = - х 3 + 3х 2 + 9 х - 29

cоs x + sin x

2e 2x – 6 e x

-3 x 2 + 6 x + 9

Постройте график функции: у = х 2 –6х + 8;

Ответьте на вопросы:

• Назовите промежутки возрастания и убывания полученного графика.
• Назовите точку минимума функции.

• Ответьте на вопросы:
• Назовите промежутки возрастания и убывания полученного графика.
• Назовите точку максимума функции.
• Как ведет себя производная вблизи этой точки, при переходе через эту точку? А в самой этой точке?

Ответьте на вопросы:

• Назовите промежутки возрастания и убывания полученного графика.
• Назовите точку максимума функции.
• Как ведет себя производная вблизи окрестности этой точки, при переходе через эту точку? А в самой этой точке?

Пьер Ферма (1601-1665) - французский математик, один из создателей аналитической геометрии и теории чисел (теоремы Ферма). Труды по теории вероятностей, исчислению бесконечно малых и оптике (принцип Ферма).

Пьер Ферма открыл методы нахождения экстремумов и касательных, которые, с современной точки зрения, сводятся к отысканию производной.

Необходимый признак экстремума .

Алгоритм нахождения точек экстремума функции

1. Найти область определения функции.

2. Найти f"( x ).

3. Найти критические точки, т.е. точки, где f"( x ) = 0 или f"( x ) не существует. (Производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя)

4. Расположить область определения и эти точки на координатной прямой.

5. Определить знаки производной на каждом из интервалов

6. Применить признаки.

7. Записать ответ.

д/з: п. 50, № 912 (2,4),

913(2,4), 914(2,4)

• Я умею …
• Я знаю …
• Хотелось бы лучше научиться …
• Мне нравится …
• Мне не нравится …
• На уроке я чувствовала себя …
• С домашней работой я …

Великий философ Конфуций однажды сказал: “Три пути ведут к знанию: путь размышления - это путь самый благородный, путь подражания - это путь самый легкий и путь опыта - это путь самый горький”. Выполняя домашнее задание, каждый из вас пройдёт свой путь к знанию.

• Конфуций, Кун-цзы (родился приблизительно 551 - умер 479 до н. э.), древнекитайский мыслитель, основатель конфуцианства.

Точка х1 называется точкой минимума
функции
f(x),
если
в
некоторой
окрестности точки х1 выполняется
неравенство
f (x) f (x1)
Значения функции в точках х0 и х1
называются соответственно
максимумом и минимумом функции.
Максимум и минимум функции называется
экстремумом функции.

y
y f (x)
x1 x2
x3
x

На одном промежутке функция может иметь
несколько экстремумов, причем может быть, что
минимум в одной точке больше максимума в
другой.
Максимум или минимум функции на некотором
промежутке не являются в общем случае
наибольшим и наименьшим значением функции.
Если в некоторой точке х0 дифференцируемая
функция f(x) имеет экстремум, то в некоторой
окрестности этой точки выполняется теорема
Ферма и производная функции в этой точке
равна нулю:
f (x0) 0

Однако, функция может иметь экстремум в точке,
в которой она не дифференцируема.
Например, функция
y x
имеет минимум в точке
x 0
но она в этой точке не дифференцируема.

Для того, чтобы функция y=f(x) имела
экстремум в точке х0 , необходимо, чтобы
ее производная в этой точке равнялась
нулю или не существовала.

Точки, в которых выполняется необходимое
условие экстремума, называются
критическими или стационарными.
Т.об., если в какой-либо точке имеется экстремум,
то эта точка является критической.
Но критическая точка не обязательно является
точкой экстремума.

Найти критические точки и экстремумы
функций:
1
y x
2

y (x) 2 x
y 2 x 0 при x 0
2
x 0
y 0
- критическая точка

y
x 0
y x
2
x

2
y x 1
3

Применим необходимое условие экстремума:
y (x 1) 3x
2
y 3x 0 при x 0
3
x 0
y 1
2
- критическая точка

y
y x
2
y 1
x

Если при переходе через точку х0 производная
дифференцируемой функции y=f(x)меняет
знак с плюса на минус, то х0 есть точка
максимума, а если с минуса на плюс, то х0
есть точка минимума.

Пусть производная меняет знак с плюса на минус,
т.е. на некотором интервале
a; x
0
f (x) 0
а на некотором интервале
x ; b
0
f (x) 0
Тогда функция y=f(x) будет возрастать на
a; x
0

и будет убывать на
x ; b
0
По определению возрастающей функции
f (x0) f (x) для всех
x a; x0
Для убывающей функции
f (x0) f (x) для всех
x0
x x0 ; b
-точка максимума.
Аналогично доказывается для минимума.

1
Найти производную функции
y f (x)
2
Найти критические точки функции, в
которых производная равна нулю или
не существует.

3
Исследовать знак производной слева и
справа от каждой критической
точки.
4
Найти экстремум функции.

Исследовать функцию на экстремум:
y x(x 1)
3

Применим схему
экстремум:
1
исследования
функции
на
Находим производную функции:
y (x(x 1)) (x 1) 3x (x 1)
3
3
2
(x 1) (x 1 3x) (x 1) (4 x 1)
2
2

2
Находим критические точки:
(x 1) (4 x 1) 0
2
x1 1
1
x2
4

3
Исследуем знак производной слева и
справа от каждой критической
точки:
y
y
1
4
1
В точке х=1 экстремума нет.
x

4
Находим экстремум функции:
27
1
f min
256
4

Если первая производная дифференцируемой
функции y=f(x) в точке х0 равна нулю, а
вторая производная в этой точке
положительна, то х0 есть точка
минимума, а если вторая производная
отрицательна, то х0 есть точка максимума.

Пусть
f (x0) 0
f (x0) 0
следовательно
f (x) f (x) 0
и в некоторой окрестности точки х0, т.е.

функция
f (x)
будет возрастать на
a; b
содержащем точку х0.
Но
f (x0) 0
на интервале
a; x
f (x) 0
а на интервале
x ; b
f (x) 0
0
0

Таким образом, функция
f (x)
при переходе через точку х0 меняет знак с
минуса на плюс, следовательно эта точка
является точкой минимума.
Аналогично
доказывается
максимума функции.
случай
для

Схема исследования функции на экстремум в
этом случае аналогична предыдущей, но
третий пункт следует заменить на:
3
Найти вторую производную и
определить ее знак в каждой
критической точке.

Из второго достаточного условия следует, что
если в критической точке вторая производная
функции не равна нулю, то эта точка является
точкой экстремума.
Обратное утверждение не верно: если в
критической точке вторая производная
функции равна нулю, то эта точка также
может являться точкой экстремума.
В
этом случае для исследования функции
необходимо использовать первое достаточное
условие экстремума.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ

Точки из области определения функции, в которых: f′ (x) =0 или не существует, называются критическими точками этой функции. Т олько они могут быть точками экстремума функции. (рис. 1 и 2). f′ (x 1) =0 f′ (x 2) =0

Точки из области определения функции, в которых: f′ (x) =0 Экстремумы Не являются экстремумами

Пусть x о точка из области определения функции f(x) и f ′ (x о) = 0, если производная функции меняет свой знак с «+» на «-» в точке x о или наоборот, то эта точка является Экстремумом. Х 1 Х 2 Х 1 max Х 2 min

Экстремумы функции Х 0 - точка максимума (max) функции, если существует такая окрестность точки х 0 , что для всех х ≠ х 0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) ˂ f(x 0) . Х 0 - точка минимума (min) функции, если существует такая окрестность точки х 0 , что д ля всех х ≠ х 0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) ˃ f(x 0) .

Рисунок 1 Рисунок 2 По заданным графикам функций y =f(x) укажите: -критические точки; -стационарные точки; -экстремумы функции.

Алгоритм поиска точек экстремума функции: 1. Найти производную функции; 2.Приравнять производную к нулю – найти стационарные точки; 3. Исследовать производную на «знак» - сделать вывод.

Выполните задание 1.Найдите точку максимума функции 2.Наидите точку минимума функции на (0;) на (0;)

В 8 2 9 На рисунке изображен график функции, определенной на интервале. Найдите сумму точек экстремума функции. 3 . -2 1 4 5 8 10 -2+1+3+4+5+8+10=…

На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (-9;8) . Найдите точку экстремума функции на интервале (-3;3) -3 3 В8 - 2 + -

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация на уроки алгебры в 11 классе на темы "Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции."

Презентация составлена на три урока. Часть материала я взяла из презентаций других учителей, за что им большое спасибо.Удобно уже сделанный материал компоновать по своему усмотрению для данного класса...

Цели урока: Образовательная: - систематизировать знания и создать разноуровневые условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений Развивающая: - способствовать формированию умений применять полученные знания в новой ситуации, развивать математическое мышление, речь Воспитательная: - содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения общаться

Памятка. Метод интервалов. Основные положения: 1. Знак произведения (частного) однозначно определяется знаками сомножителей (делимого и делителя). 2. Знак произведения не изменяется (изменится на противоположный), если изменить знак у четного (нечетного) числа сомножителей. 3. Знак линейной функции с ненулевым угловым коэффициентом и знак квадратичной функции справа от большего (или единственного) корня совпадают со знаком их старшего коэффициента. 4. Если строго возрастающая (убывающая) функция имеет корень, то справа от корня она положительна (отрицательна) и при переходе через корень меняет знак. Замечания: 1. В случае отсутствия корней знак квадратичной функции совпадает со знаком ее старшего коэффициента на всей области определения этой функции. 2. Положение 3 и замечание 1 справедливы для многочлена любой степени.

Работа с графиком. Работа с графиком. Рассмотрим рисунок, на котором изображен график функции y=x³-3x². Рассмотрим окрестность точки х=0, т.е.некоторый интервал, содержащий эту точку. Из рисунка видно, что такая окрестность существует и наибольшее значение функция принимает в точке х=0. Эту точку называют точкой максимума. Аналогично точку х=2 называют точкой минимума, так как функция в этой точке принимает значение меньшее, чем в любой точке окрестности х=2. Рассмотрим рисунок, на котором изображен график функции y=x³-3x². Рассмотрим окрестность точки х=0, т.е.некоторый интервал, содержащий эту точку. Из рисунка видно, что такая окрестность существует и наибольшее значение функция принимает в точке х=0. Эту точку называют точкой максимума. Аналогично точку х=2 называют точкой минимума, так как функция в этой точке принимает значение меньшее, чем в любой точке окрестности х=2.

Нужно запомнить: Точка х 0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х 0, что для всех х отличных от х 0 из этой окрестности выполняется неравенство Точка х 0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х 0, что для всех х отличных от х 0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)f(х 0). (рисунок 2) Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума. Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума.

Немного из истории математики: Пьер Ферма. (1601 – 1665) Работа советника в городском парламенте Тулузы не мешала Ферма заниматься математикой. Постепенно он приобрел славу одного из первых математиков Франции. Он соперничал с французским ученым Р. Декартом в создании аналитической геометрии, общих методов решения задач на максимум и минимум. Его приемы построения касательных к кривым, вычисления площадей криволинейных фигур, вычисления длин криволинейных прокладывали дорогу к созданию дифференциального и интегрального исчислений. С работ Ферма началась новая математическая наука - теория чисел.

Теорема Ферма. Если х 0 – точка экстремума дифференцируемой функции f(x), то f (х)=0. Если х 0 – точка экстремума дифференцируемой функции f(x), то f (х)=0. Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: касательная к графику функции у =f(x) в точке (х 0 ; f(х 0)), где х 0 – точка экстремума функции у =f(x), параллельна оси абсцисс, и поэтому ее угловой коэффициент f (х) равен нулю. Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: касательная к графику функции у =f(x) в точке (х 0 ; f(х 0)), где х 0 – точка экстремума функции у =f(x), параллельна оси абсцисс, и поэтому ее угловой коэффициент f (х) равен нулю.

Стационарные и критические точки Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными, т.е. если f (х)=0, то этого недостаточно, чтобы утверждать, что х - точка экстремума. Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема, называются критическими точками этой функции. Рассмотрим функцию f(x)=x³. Ее производная f (х)=3х², f (х)=0. Однако х=0 не является точкой экстремума, так как функция возрастает на всей числовой оси (рисунок 1). Сформулируйте достаточное условие того, что стационарная точка является точкой экстремума.

0 слева от точки х 0 и f (x) " title="Теорема: Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (а; b), х 0 є (а; b), и f (x)=0. Тогда: 1) если при переходе через стационарную точку х 0 функции f(x) ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», т.е. f (x)>0 слева от точки х 0 и f (x) " class="link_thumb"> 10 Теорема: Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (а; b), х 0 є (а; b), и f (x)=0. Тогда: 1) если при переходе через стационарную точку х 0 функции f(x) ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», т.е. f (x)>0 слева от точки х 0 и f (x) 0 слева от точки х 0 и f (x) 0 слева от точки х 0 и f (x) "> 0 слева от точки х 0 и f (x) 0 слева от точки х 0 и f (x)"> 0 слева от точки х 0 и f (x) " title="Теорема: Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (а; b), х 0 є (а; b), и f (x)=0. Тогда: 1) если при переходе через стационарную точку х 0 функции f(x) ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», т.е. f (x)>0 слева от точки х 0 и f (x) "> title="Теорема: Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (а; b), х 0 є (а; b), и f (x)=0. Тогда: 1) если при переходе через стационарную точку х 0 функции f(x) ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», т.е. f (x)>0 слева от точки х 0 и f (x) ">

План нахождения экстремум функции. 1. Найти производную функции. 2. Найти стационарные точки функции, т.е. производную приравнять к нулю. 3. Используя метод интервалов выяснить, как меняются знаки производной. 4. По знакам перехода функции определить точки минимума или максимума.

Рассмотрим задание 1: Найти точки экстремума функции f(x)=9х-3. Решение: 1) Найдем производную функции: f ´ (x)=9 2) Найдем стационарные точки: Стационарных точек нет. 3) Данная функция линейная и возрастает на всей числовой оси, поэтому точек экстремума функция не имеет. Ответ: функция f(x)=9х-3 не имеет точек экстремума.

Рассмотрим задание 2: Найти точки экстремума функции f(x)=х ² -2x. Решение: 1) Найдем производную функции: f ´ (x)=2х-2 2) Найдем стационарные точки: 2х-2=0Х=1. 3) Используя метод интервалов, найдем, как меняется знак производной (см. рисунок): 4) При переходе через точку х=1 знак производной меняется со знака с «-» на «+», поэтому х=1 – является точкой минимума. Ответ: точка х=1 является точкой минимума функции f(x)= х ² -2x.

Рассмотрим задание 3: Найти точки экстремума функции f(x)=х -4x³. Решение: 1) Найдем производную функции: f ´ (x)=4x³-12x² 2) Найдем стационарные точки: 4x³-12x²=0 Х1=0, х2=3. 3) Используя метод интервалов, найдем, как меняется знак производной (см. рисунок): 4) При переходе через точку х=0 знак производной не меняется, то эта точка не является точкой экстремума, а при переходе через точку х 1 =3 производная меняет знак с «-» на «+», поэтому х 2 =3 – является точкой минимума. Ответ: точка х=3 является точкой минимума функции f(x)= х -4x³.

Самостоятельно выполнить следующие задания: 1) По данному рисунку определить точки максимума и минимума функции у=f(x). 2) Найти стационарные точки: а) у=е ² -2е; б) у=2х³-15х ² +36х; в) у=sinx-cosx; г) у=(2+х ²)/х. 3) Найти экстремумы функции: а) f(x)=x³-x; б) f(x)=х -8х²+3; в) f(x)=х+sinx; г) f(x)=x-cos2x.

Физкультминутка. Для учащихся предлагается выполнить несколько физических упражнений, чтобы снять усталость и напряжение за длительную работу на компьютере. 1. Сидя на стуле: - руки за голову; - локти развести пошире, голову наклонить назад; - локти вперед, голову вперед; - руки расслабленно вниз; - упражнение повторить 4 – 5 раз. 2. Сидя на стуле: - голову плавно отвести назад; - наклонить плавно голову вперед; - упражнение повторить 4 – 5 раз. 3. Упражнение для глаз: - быстро поморгать; - закрыть глаза и посидеть спокойно; - медленно сосчитать до пяти; - упражнение повторить 4 – 5 раз. 4. Упражнение для глаз: - крепко зажмурить глаза; - медленно сосчитать до пяти; - открыть глаза и посмотреть вдаль; - упражнение повторить 4 – 5 раз. 5. Упражнение для глаз: - посмотреть на указательный палец вытянутой руки; - посмотреть вдаль; - упражнение повторить 4 – 5 раз.

Тестирование: Для выполнения теста необходимо открыть файл, который находится в папке «Экстремумы функции» на диске С: под названием «Тест 1». В результате выполнения работы вы получаете оценку за свои знания. Также для систематизации знании вы можете выполнить следующие тесты на повторение изученного ранее материала («Тест 2», «Тест 3», «Тест 4», «Тест 5»). Для выполнения теста необходимо открыть файл, который находится в папке «Экстремумы функции» на диске С: под названием «Тест 1». В результате выполнения работы вы получаете оценку за свои знания. Также для систематизации знании вы можете выполнить следующие тесты на повторение изученного ранее материала («Тест 2», «Тест 3», «Тест 4», «Тест 5»).

0\nу >0\n\nФункция y=f(x) называется возрастающей на\nпромежутке, если при возрастании аргумента,\nзначение функции увеличивается\n\nФункция y=f(x) возрастает, если большему\nзначению аргумента соответствует большее\nзначение функции\ny=f(x)\nу >0\n\nТеорема: Если производная на промежутке\nположительная, то функция y=f(x) на данном\nпромежутке возрастает..jpg","smallImageUrl":"http:\/\/pedsovet.su\/\/_load-files\/load\/38\/56\/9\/f\/3-page-2_300.jpg"},{"number":3,"text":"2. Убывание функции\n\nФункция y=f(x) называется убывающей на\nпромежутке, если при возрастании аргумента,\nзначение функции уменьшается.\n\nФункция убывает, если большему значению\nаргумента соответствует меньшее значение\nфункции\n\nу 0\nу >0\n\n+\n\n–\n\nx\n\nx\n\nу 0\n\n0\n\nРаспознать точку\nмаксимума по графику\nфункции очень просто..jpg","smallImageUrl":"http:\/\/pedsovet.su\/\/_load-files\/load\/38\/56\/9\/f\/3-page-4_300.jpg"},{"number":5,"text":"4. Точки минимума\n\nТочка х = а называется точкой минимума\nфункции y=f(x) если производная в данной точке\nравна 0, и при переходе через эту точку слева\nнаправо знак производной меняется с (-) на (+)\n\nf(x\n)\n\nу >0\nу >0\n\nу 0\n\n–\n\nmi\nn\n\n+\n\nx\n\nx0\n\nРаспознать точку\nминимума по графику\nфункции очень просто.\nГрафик функции в\nокрестности точки\nминимума выглядят\nкак гладкая “впадина”\n\nТочки минимума и точки максимума\nназываются точками экстремума..jpg","smallImageUrl":"http:\/\/pedsovet.su\/\/_load-files\/load\/38\/56\/9\/f\/3-page-5_300.jpg"},{"number":6,"text":"Функция y=f(x) называется выпуклой на\nпромежутке, если все точки графика функции\nрасположены ниже касательной.\n\n5..jpg","smallImageUrl":"http:\/\/pedsovet.su\/\/_load-files\/load\/38\/56\/9\/f\/3-page-6_300.jpg"},{"number":7,"text":"6. Вогнутость функции\n\nФункция y=f(x) называется вогнутой на\nпромежутке, если все точки графика функции\nрасположены выше касательной.\n\nу”>0\n\nу”>0\n\nя\nьна\nтел\n\nая\nн\nль\nе\nат\n\nа\nкас\n\nс\nка\n\ny=f(x)\n\nу”>0\nкаса\nтель\n\nная\n\nТЕОРЕМА: Функция y=f(x) является вогнутой\nна промежутке, если вторая производная на этом\nпромежутке положительная..jpg","smallImageUrl":"http:\/\/pedsovet.su\/\/_load-files\/load\/38\/56\/9\/f\/3-page-7_300.jpg"},{"number":8,"text":"Точка Р называется точкой перегиба\nфункции y=f(x) если при переходе через эту\nточку слева направо знак второй\nпроизводной меняется.\n\n7. Точки перегиба\n\n\n\nP1\nP2\nу”0\nP1\n\ny=f(x)\n\nу”0\n\nРаспознать точку\nперегиба по графику\nфункции очень просто.\nГрафик функции в\nокрестности точки\nперегиба выглядит\nграницей между\n“холмом” и “впадиной”\n\nР\n\n","imageUrl":"http:\/\/pedsovet.su\/\/_load-files\/load\/38\/56\/9\/f\/3-page-8..jpg"},{"number":9,"text":"8. Нули функции\n\nТочки, в которых график функции пересекает\nось ОХ называются нулями функции.\nОрдинаты этих точек равны 0..jpg","smallImageUrl":"http:\/\/pedsovet.su\/\/_load-files\/load\/38\/56\/9\/f\/3-page-9_300.jpg"},{"number":10,"text":"Список\nСписоклитературы:\nлитературы:\nУчебник:\nУчебник:Богомолов,\nБогомолов,Н.\nН.В.\nВ.Практические\nПрактическиезанятия\nзанятияпо\nпоматематике:\nматематике:\nучеб.\nучеб.пособие\nпособиедля\nдлястудентов\nстудентовсред.\nсред.проф.\nпроф.учеб.\nучеб.заведений\nзаведений\n\nПрезентация\nПрезентацияможет\nможетбыть\nбытьиспользована\nиспользованана\nнауроках\nурокахматематики\nматематикидля\nдля\nформирования\nформированияумения\nуменияформулировать\nформулироватьсвойства\nсвойстваграфиков\nграфиковфункций,\nфункций,сс\nприменением\nприменениемпроизводной\nпроизводнойпо\nпотеме\nтеме«Производная.\n«Производная.Точки\nТочкиэкстремума\nэкстремума\nииперегиба.\nперегиба.Возрастание\nВозрастаниеиивыпуклость\nвыпуклостьфункции».\nфункции»..jpg","smallImageUrl":"http:\/\/pedsovet.su\/\/_load-files\/load\/38\/56\/9\/f\/3-page-10_300.jpg"}]">

П ояснительная записка

Презентация по математике по теме: « Производная. Точки экстремума и перегиба. Возрастание и выпуклость функции » предназначена для студентов 1 курса учреждений СПО или учащихся 10 - 11 классов общеобразовательных школ.

Цель использования презентации в учебном процессе:

Наглядная демонстрация презентации на уроке с объяснениями преподавателя

Самостоятельное изучение материала по теме, (с возможным конспектированием материала)

Многократная возможность использования презентации при дистанционном обучении

Закрепление материала в ходе проведения тренинга, при самостоятельном формулировании свойств графика функции.

Презентация может быть использована на уроках в качестве наглядного пособия, для самостоятельного изучения темы, для восполнения пробелов в знаниях студентов в результате пропусков учебных занятий.

Презентация имеет удобный интерфейс, проста в обращении, содержит наглядность и информативность, использует гиперссылки и триггеры.

04.10.2013г. Преподаватель математики ФАЛИНА Т.Б.

Скриншоты презентации:

Слайд 1

ГБОУ СПО ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ «Производная. Точки экстремума и перегиба. Возрастание и выпуклость функции» Алгоритм работы: 1. Работа с презентацией позволяет сформировать основные понятия по теме, познакомиться со свойствами функции с позиции производной. 2. Презентация содержит определения, графики, свойства и теоремы, которые в случае необходимости можно законспектировать, нажав паузу. 3. Для перехода на содержание – , управление презентацией – по щелчку мыши Конкурс презентаций «Интерактивная мозаика» на сайте сайт Интерактивное пособие выполнила преподаватель математики Петрозаводского лесотехнического техникума ФАЛИНА ТАТЬЯНА БОРИСОВНА Петрозаводск 2013

Слайд 2

Слайд 3

1. Возрастание функции у >0 у >0 Функция y=f(x) называется возрастающей на промежутке, если при возрастании аргумента, значение функции увеличивается Функция y=f(x) возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции y=f(x) у >0 Теорема: Если производная на промежутке положительная, то функция y=f(x) на данном промежутке возрастает.

Слайд 4

2. Убывание функции Функция y=f(x) называется убывающей на промежутке, если при возрастании аргумента, значение функции уменьшается. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции у < 0 у < 0 y=f(x) Теорема: Если производная на промежутке отрицательная, то функция y=f(x) на данном промежутке убывает.

Слайд 5

3. Точки максимума Точка х = а называется точкой максимума функции y=f(x) если производная в данной точке равна 0, и при переходе через эту точку слева направо знак производной меняется с (+) на (-) max f(x) у >0 у >0 + – x x у < 0 y=f(x) у < 0 у >0 0 Распознать точку максимума по графику функции очень просто. График функции в окрестности точки максимума выглядят как гладкий “холм” x xma

Слайд 6

4. Точки минимума Точка х = а называется точкой минимума функции y=f(x) если производная в данной точке равна 0, и при переходе через эту точку слева направо знак производной меняется с (-) на (+) f(x) у >0 у >0 у < 0 y=f(x) у < 0 у >0 – mi n + x x0 Распознать точку минимума по графику функции очень просто. График функции в окрестности точки минимума выглядят как гладкая “впадина” Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума. x xmin